Примеры решения задач

Пример 1.1. Фирме выделен банковский кредит на срок с 3 января по 12 марта под простые проценты с процентной ставкой 12 % годовых. Сумма кредита – 80 000 д.ед. Определить по трем методам коэффициент наращения и наращенную сумму.

Р ешение. Коэффициент наращения рассчитывается по формуле

Расчет коэффициентов наращения по трем вариантам определения срока финансовой операции

t1= 68; K1 = 1+ 68/365*0,12 = 1,02236,

t2= 68; K2 = 1+ 68/360*0,12 = 1,02269,

t3= 69; K3 = 1+ 69/360*0,12 = 1,023.

Расчет наращенных сумм

S1 = 81788,8,

S2 = 81815,2,

S3 = 81840.

Очевидно, что фирме предпочтительнее расчет коэффициента наращения по первому методу. Особенно заметны финансовые различия при k = 360 .

Пример 1.2. Фирма взяла в коммерческом банке кредит на сумму 600 000 д.ед. сроком на 4 года. Согласно договору, за первый год процентная ставка составляла 18 % и с учетом инфляции каждый последующий год повышалась на 2 пункта. Определите коэффициент наращения, наращенную сумму и доход банка.

Р ешение. Расчет коэффициента наращения в случае использования изменяющейся процентной ставки

К = 1 + 0,18* 1 +0,2 * 1 + 0.22 * 1 +0,24 =1,84,

S=K* Р=600 000*1,84 =1 104 000,

D= S-Р =1 104 000 - 600 000 =504 000.

Пример 1.3. Клиент оформляет вклад на срочный депозит сроком на 1 месяц в коммерческом банке. Процентная ставка банка 16 % годовых. Годовой уровень инфляции 4 %. Определите реальную годовую процентную ставку прибыли, по которой оформлен вклад.

Р ешение. Годовая процентная ставка с учетом инфляции (r) рассчитывается по формуле

О тсюда реальная ставка доходности составит

i = (0,16 – 0,04)/(1 + 1/12*0,04) = 0,1196.

Реальная ставка доходности по срочному депозиту составит 11,96 % годовых.

Пример 1.4. Клиент получил кредит сроком на 3 месяца в 60000 д.ед. Сумма возврата кредита – 65000 д.ед. Определите процентную ставку банка.

Решение. Наращенная сумма , поэтому

Процентная ставка банка составит 33 %.

Тема 2. Расчеты по СложныМ процентАм

2.1. Декурсивный метод начисления сложных процентов

Наращение по сложным процентам вычисляется по формуле

S_n= P(1+i)ⁿ , (2.1)

где S_n – наращенная сумма на конец n - го года, д.ед.;

P – первоначальная сумма денежных средств, д.ед.;

i - ставка сложных процентов, %;

n – срок операции наращения в годах;

(1+i)ⁿ - множитель наращения сложных процентов.

При изменении процентной ставки из периода в период наращенная сумма по сложным процентам определяется по формуле

, (2.2)

где i₁,i₂,…i_k….i_t - процентные ставки установленные для соответствующих интервалов времени n, %.

В случае, если проценты начисляются чаще одного раза в год, то применяют формулу

где j – годовая процентная ставка (номинальная), %;

m - число периодов капитализации процентов в течение года.

Определение первоначальной или дисконтированной суммы некоторой суммы S выполняется по формуле

. (2.4)

2.2 Антисипативный метод начисления сложных процентов

Наращение по сложной учетной ставке производится по формуле

S =	P	, (2.5)
	(1 – d)n

где S – наращенная сумма, д.ед.;

P –первоначальная сумма, д.ед.;

n – срок операции в годах;

d –сложная учетная ставка, %.

Если капитализация процентов производится чаще, чем один раз в год, наращение по сложной учетной ставке производится по формуле

S =	P	, (2.6)
	(1 – f/m)m*n

где f – годовая номинальная учетная ставка, %;

m – число периодов капитализации процентов в течение года.

2.3 Начисление процентов и инфляция

Наращенная сумма по сложным процентам с учетом инфляции рассчитывается по формуле

S =	P(1+i)n	, (2.7)
	(1+h)n

где h – темп инфляции.

Формула корректировки первоначальной суммы капитала на уровень инфляции

S=P*Y*(1+i)ⁿ, (2.8)

где i – процентная ставка, отражающая реальную доходность финансовой операции, %;

Y – индекс инфляции.

Формула расчета процентной ставки, скорректированной на уровень инфляции (формула Фишера)

r = i+h+i*h, (2.9)

где r – процентная ставка, скорректированная на уровень инфляции, %;

i – процентная ставка, отражающая реальную доходность финансовой операции, %;

h – темп инфляции.

2.4 Наращение на основе непрерывных процентных ставок

Формула наращения по непрерывной процентной ставке

S=Pe^n , (2.10)

где e – основание натурального логарифма, е=2,718;

 - процентная ставка при начислении непрерывных процентов или сила роста, %;

e^n - множителем наращения при непрерывной капитализации процентов.

Формула наращения с переменной силой роста

(2.11)

Формула наращения для случая, если сила роста изменяется дискретно

где ₁,₂,…._к сила роста в соответствующих интервалах n₁,n₂,…n_к, %_.

Формула наращения для случая, если сила роста изменяется непрерывно и может быть описана арифметической прогрессией

где ₀- начальная величина силы роста, %;

a - годовой прирост или снижение силы роста.

Формула наращения для случая, если сила роста изменяется непрерывно и может быть описана геометрической прогрессией:

где a – знаменатель геометрической прогрессии.

Дисконтирование на основе непрерывных % ставок производится по формуле

P=Se^-n . (2.15)

Вопросы для изучения:

• начисление сложных процентов;

• непрерывное начисление процентов;

• дисконтирование по сложным процентным ставкам;

• определение параметров наращения по операциям по сложным процентам;

• учет инфляции в финансовых операциях.