Тема 4. Финансовые ренты
4.1 Наращенная сумма финансовых рент
4.1.1 Ренты с начислением процентов в конце года
Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R грн. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. Таким образом, имеется рента член которой равен R, а срок n. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты. На последний взнос проценты не начисляются. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд
R, R(1+i)1, R(1+i)2,…,R(1+i)n-1.
Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)1, первым членом прогрессии R и числом членов прогрессии n.
Сумма членов геометрической прогрессии (S) определяется по формуле
,
(4.1)
где b1 - первый член геометрической прогрессии;
q - знаменатель прогрессии;
n - число членов прогрессии.
Наращенная к концу срока сумма ренты постнумерандо определяется путем подстановки в формулу (4.1) исходных данных, полученных по построенному ряду (см.выше). Таким образом, искомая величина наращенной к концу срока суммы (S) годовой ренты постнумерандо будет равна
(4.2)
где R - элемент (член) годовой ренты, д.ед.;
i - годовая процентная ставка, %;
n - продолжительность (срок) ренты, лет;
Sn,i - коэффициент наращения годовой ренты, определяемый по специальным таблицам.
Пусть рента выплачивается p раз в году равными суммами, процент начисляется один раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд
.
Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)1/p, первым членом прогрессии R/p и числом членов прогрессии np.
Р
где R/p - элемент (член) p-срочной ренты, д.ед.;
p - количество платежей за год;
Sn,i, S1/p,i- соответственно коэффициент наращения годовой и p-срочной ренты, определяемые по таблицам.
Пусть рента выплачивается каждые r лет годовыми платежами R в течение срока n, процент начисляется один раз в конце года. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд
.
Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)r, первым членом прогрессии R и числом членов прогрессии n/r.
Расчет наращенной суммы (S) финансовой ренты с периодом больше года (дискретная или r-срочная рента) проводится с использованием формулы
,
(4.4)
где R - элемент (член) r-срочной ренты, д.ед.;
r
- периодичность осуществления платежей,
r
1;
Sn,i, Sr,i - соответственно коэффициенты наращения годовой и r-срочной ренты, определяемые по таблицам.
4.1.2 Ренты с начислением процентов m раз в год (по ставке j/m)
Расчет наращенной суммы (S) годовой финансовой ренты
,
(4.5)
где j - номинальная годовая процентная ставка, %;
m - период капитализации процентов.
Расчет наращенной суммы (S) p-срочной ренты:
.
(4.6)
На практике часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начисленных процентов, т.е. когда p=m. Для получения необходимой формулы воспользуемся формулой (4.2), в которой i заменяется на j/m, а вместо числа лет берется число периодов выплат ренты np, член ренты равен R/p. Так как p=m, то в итоге получим формулу наращенной суммы (S)
.
(4.7)
Расчет наращенной суммы (S) финансовой ренты с периодом больше года (r-срочная рента)
.
(4.8)
4.1.3 Ренты с непрерывным начислением процентов
Расчет наращенной суммы (S) годовой финансовой ренты производится по формуле
,
(4.9)
где е - основание логарифма, е = 2,718;
-
сила роста, %.
Расчет наращенной суммы (S) p-срочной ренты производится по формуле
.
(4.10)
Расчет наращенной суммы финансовой ренты с периодом больше года производится с использованием формулы
.
(4.11)
4.2 Современная стоимость финансовых рент
4.2.1 Ренты с начислением процентов в конце года.
Пусть член годовой ренты равен R, срок ренты n. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. В этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна R(1+i)-1, второго - R(1+i)-2, последнего - R(1+i)-n. Таким образом, эти величины образуют следующий ряд
R(1+i)-1, R(1+i)-2,…, R(1+i)-n.
Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)-1, первым членом прогрессии R и числом членов прогрессии n. Подставляя эти данные в формулу (4.1), находим современную стоимость (Р) годовой финансовой ренты
,
(4.12)
где аn,i - коэффициент приведения годовой ренты, определяемый по таблицам.
Если платежи производятся не один, а p раз в году, то размер платежа равен R/p. Члены ренты образуют ряд
.
Данный
ряд представляет собой геометрическую
прогрессию со знаменателем (1+i)-1/p,
первым членом прогрессии
и числом членов прогрессии np.
Подставив данные в формулу (4.1)
получаем сумму дисконтированных платежей
или современную стоимость (Р) p-срочной
ренты
(4.13)
Пусть рента выплачивается каждые r лет годовыми платежами R в течение срока n, процент начисляется один раз в конце года. Дисконтированные члены ренты образуют ряд
.
Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)-r, первым членом прогрессии R и числом членов прогрессии n/r.
Современная стоимость (Р) финансовой ренты с периодом больше года (r-срочная рента) определяется по формуле
.
(4.14)
4.2.2 Ренты с начислением процентов m раз в год
Расчет современной суммы годовой финансовой ренты производится по формуле
.
(4.15)
Расчет современной суммы p-срочной ренты производится по формуле
(4.16)
Частный случай p-срочной ренты при p=m, т.е. число членов ренты равно числу начислений процентов. Величина члена ренты составляет R/m. Современная стоимость (Р) в таком случае определяется по формуле
(4.17)
Расчет современной суммы (Р) финансовой ренты с периодом больше года
.
(4.18)
4.2.3 Ренты с непрерывным начислением процентов
Р
(4.19)
асчет
современной суммы (Р) годовой финансовой
ренты производится по формуле
Расчет современной суммы (Р) p-срочной ренты производится по формуле
.
(4.20)
Расчет современной суммы (Р) финансовой ренты с периодом больше года
.
(4.21)
4.2.4 Вечная рента
Р
(4.22)
асчет
современной стоимости р–срочной ренты
с начислением процентов в конце года
по ставке сложных процентов, равной i.