8.1Знаходження лінії взаємного перетину поверхонь багатогранників

Перетин поверхонь багатогранників дає ламані лінії, які є відрізками лінії перетину граней одного багатогранника з іншим. Положення одного багатогранника стосовно іншого може бути досить різноманітним. Залежно від цього і різні лінії перетину. У тому випадку, якщо один багатогранник «проходить» скрізь інший, такий перетин називають

повним перетином, у результаті виходять дві замкнуті плоскі ламані лінії перетину (рис.115а ).

У тому випадку, якщо один багатогранник як би «врізається» в інший, не перетинаючи всю її поверхню (рис.115б) , такий перетин називають неповним перетином, у результаті одержують одну замкнуту просторову ламану лінію перетину.

а б

Рис.115 – Перетин призматичної та пірамідальної поверхонь

Побудова лінії взаємного повного перетину призматичної і пірамідальної поверхонь. У цьому випадку повний перетин поверхонь. Неправильна трикутна піраміда як би «входить» в одну грань призми по трикутнику DEF і «виходить» із призми по трикутнику ABC в іншу грань. У перетині виходять дві плоскі замкнуті ламані лінії (трикутники). Бічні грані призми є горизонтально проектуючими. Тому горизонтальні проекції А₁ В₁ С₁ і D₁ Е₁ F₁ точок перетину ребер трикутної піраміди з бічними гранями призми вже визначені. Користуючись вертикальними лініями зв'язку, знаходять їхні фронтальні проекції А₂, В₂, С₂ і D₂, E₂, F₂. Потім точки А_2, В₂, С₂ і D₂, Е₂, F₂ з'єднують суцільними лініями, як видимі ділянки лінії перетину, а точки А₂, С₂ і Е₂, F₂ штриховими – як невидимі. Одержують фронтальні проекції двох плоских ліній перетину.

Побудова лінії взаємного неповного перетину призматичної та пірамідальної поверхонь. У цьому випадку – неповний перетин поверхонь. Неправильна трикутна піраміда тільки двома бічними ребрами S₂ і S₃ перетинає бічні грані призми, а правильна трикутна призма тільки одним бічним ребром п перетинає дві бічні грані піраміди. У перетині – одна просторова замкнута ламана лінія. Бічні грані призми, як і в першому прикладі, є проектуючими. Горизонтальні проекції А₁ С₁, і G₁ E₁ точок перетину бічних ребер S2 і S3 піраміди із гранями призми на площині П₁, уже визначені. Їхні фронтальні проекції А₂, С₂ і G₂ Е₂ одержують, використовуючи вертикальні лінії зв'язку. Для визначення проекцій точок перетину ребра призми п із гранями піраміди вводять площину-посередник – горизонтально проектуючу площину δ, що проходить через ребро n призми.

Площина δ перетинає бічні грані піраміди по двох прямих Sm і Sk. Фронтальні проекції S₂m₂ і S₂k₂ цих прямих перетинають фронтальну проекцію п₂ ребра призми в точках В₂ і F₂, які є фронтальними проекціями перетину ребра п призми із гранями піраміди. Потім фронтальні проекції точок, розташовані на гранях призми і піраміди, з'єднують прямими лініями, наприклад точку А₂ із точкою В₂, точку В₂ із точкою С₂ і т.д. Одержують фронтальну проекцію лінії перетину. Причому ділянки А₂В₂, В₂С₂ і G₂F₂, F₂Е₂ проекції ламаної лінії перетину, як розташовані на видимих гранях призми й піраміди, зображують суцільними товстими лініями, як видимі, а ділянки A₂G₂ і C₂E₂, розташовані на невидимих гранях призми й піраміди – штриховими лініями, як невидимі.

Горизонтальні проекції В₁ і F₁ зливаються із проекцією n₁, ребра призми.