1.1 Комплексные числа.

Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел.

Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид (или ), где и - действительные числа, - мнимая единица, для которой . Число - действительная часть комплексного числа и обозначается , число - мнимая часть и обозначается .

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, выполняются по правилам сложения, вычитания и умножения двух членов с заменой каждый раз на –1. Деление выполняется по формуле , где - комплексное число, сопряженное числу . Геометрически комплексное число изображается точкой на координатной плоскости.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , где - модуль числа ; - его аргумент - величина угла между положительным направлением оси и радиусом вектором , причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной,- если по часовой стрелке. Величина угла определяется из системы . Значение (или ) обозначается и называется главным.

Главное значение аргумента можно определить также по формуле:

,

где 1) при ;

2) при ;

3) при .

Если , то

Показательная форма комплексного числа имеет вид , где - формула Эйлера.

Если , то .

Если , то

При возведении в степень комплексного числа используется формула Муавра

.

Все значения корня степени из комплексного числа находятся по формуле , где

1.2 Многочлены от одной переменной.

Общий вид уравнения -й степени (где — некоторое целое поло­жительное число) есть

. (1),

коэффициенты произвольные комплексные числа, причем старший коэффициент отличный от нуля.

Если написано уравнение (1), то всегда предполагается, что тре­буется его решить. Целесообразно заменить задачу решения уравнения (1) более общей задачей изучения левой части этого уравнения

(2)

называемой многочленом (или полиномом) -й степени от неиз­вестного . Для сокращенной записи многочленов употребляются символы .

Два многочлена и считаются равными (или тождественно равными), , в том случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. Знак «=», связывающий многочлены, следует понимать в смысле тождественного равенства этих многочленов.

По­мимо записи многочлена в виде (2), т. е. по убывающим степеням неизвестного, допускаются и другие его записи, получающиеся из (2) перестановкой слагаемых, например, запись, по возрастающим степеням неизвестного.

Существуют многочлены -й степени для любого натурального числа , в том числе многочлены нулевой степени, т. е. с отличными от нуля комплексными числами. Число нуль считается многочленом; это единственный многочлен, степень которого не определена.

1.2.1 Операции сложения и умножения для многочленов с комплексными коэффициентами.: Если даны многочлены и , записанные для удобства по возрастающим степеням :

(3)

и если, например, , то их суммой называется многочлен

коэффициенты которого получаются сложением коэффициентов многочленов и ,, стоящих при одинаковых степенях неизвест­ного.

Произведением многочленов и ,называется многочлен

коэффициенты которого определяются:

, (4)

Из (4) вытекает неравенство и поэтому степень произведения двух много­членов равна сумме степеней этих многочленов.

Вывод: произведение многочленов, отличных от нуля, не будет равным нулю.

Коммутативность и ассоциативность сложе­ния немедленно вытекают из справедливости этих свойств для сло­жения чисел, так как складываются коэффициенты при каждой степени неизвестного отдельно. Вычитание оказывается выполнимым: роль нуля играет число нуль, включенное нами в число многочленов, а противоположным для записанного выше много­члена будет многочлен

Коммутативность умножения вытекает из коммутатив­ности умножения чисел и того факта, что в определении произведения многочленов коэффициенты обоих множителей и исполь­зуются совершенно равноправным образом.

Заметим, что роль единицы при умножении многочленов играет число 1, рассматриваемое как многочлен нулевой степени. С другой стороны, многочлен тогда и только тогда обладает обрат­ным многочленом , если является многочленом нулевой степени.

Отсюда вытекает, что для умножения многочленов обратная операция — деление — не существует. В этом отношении система всех многочленов с комплексными коэффициентами напоминает си­стему всех целых чисел. Эта аналогия проявляется и в том, что для многочленов, как и для целых чисел, существует алгоритм деления с остатком.

Теорема 1. Для любых двух многочленов и можно найти такие многочлены и , что

, (6)

причем степень меньше степени или же . Многочлены и , удовлетворяющие этому условию, опре­деляются однозначно.

Заметим, что многочлен называется частным от деления на , а -остатком от этого деления. Из рассмотрения алгоритма деления с остатком легко устанавливается, что если и являются многочленами с действительными коэффициентами, то коэффициенты частного и остатка будут действительными.

1.2.2 НОД, алгоритм Евклида. Пусть даны ненулевые многочлены и с комплексными коэффициентами. Если остаток от деления на равен нулю т. е., как говорят, делится (или нацело делится) на , то многочлен называется делителем многочлена .

Многочлен тогда и только тогда будет делителем много­члена f(x), если существует многочлен , удовлетворяющий равенству

(7)

Пусть даны произвольные много­члены и . Многочлен будет называться общим дели­телем для и , если он служит делителем для каждого из этих многочленов. К числу общих делителей многочленов и принадлежат все много­члены нулевой степени. Если других общих делителей эти два много­члена не имеют, то они называются взаимно простыми. В общем же случае многочлены и могут обладать делителями, зависящими от , поэтому существует понятие о наи­большем общем делителе этих многочленов.

Наибольшим общим делителем (НОД) отличных от нуля многочленов и называется такой многочлен , который является их общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Обозначение: НОД и символом . Находится НОД многочленов с помощью алгоритма Евклида: Пусть даны многочлены и . Делим на и получаем некоторый остаток . Делим затем на и получаем остаток , делим на и т. д. Так как степени остатков все время понижаются, то в этой цепочке последовательных делений мы доходим до такого места, на котором деление совершится нацело и поэтому процесс остановится. Тот остаток , на который нацело делится предыдущий остаток , и будет НОД многочленов и . Этот способ показывает, что если многочлены f(x) и g(x) имеют оба рациональные или действительные коэффициенты, то и коэффициенты их НОДа также будут рациональными или, соответственно, действительными.

Теорема 2. Если есть НОД многочленов и , то можно найти такие многочлены и , что

(8),

при этом, если степени многочленов и больше нуля, то степень меньше степени , а степень меньше степени .

Теорема 3. Многочлены и тогда и только тогда взаимно просты, если можно найти многочлены и , удовлетворяющие равенству

(9)

Теоремы о взаимно простых многочленах.

1) Если многочлен взаимно прост с каждым из многочленов и , то он взаимно прост и с их произведением.

2) Если произведение многочленов и делится на, но и взаимно просты, то g(x) делится на .

3) Если многочлен делится на каждый из многочленов и , которые между собой взаимно просты, то делится и на их произведение.