2.2. Варианты заданий.

1 Задание.

2.2.1 Исследовать на совместность систему линейных неоднородных алгебраических уравнений с неизвестными и в случае совмест­ности найти решение.

Вариант 1. Вариант 2.

Вариант 3. Вариант 4.

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10

Вариант 11 Вариант 12

Вариант 13 Вариант 14

Вариант 15 Вариант 16

Вариант 17 Вариант 18

Вариант 19 Вариант 20

Вариант 21 Вариант 22

Вариант 23 Вариант 24

Вариант 25

2 Задание .

2.2.2 Исследовать на совместность систему линейных однородных алгебраических уравнений с неизвестными и в случае совмест­ности найти решение.

Вариант 1. Вариант 2.

Вариант 3. Вариант 4.

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10

Вариант 11 Вариант 12

Вариант 13 Вариант 14

Вариант 15 Вариант 16

Вариант 17 Вариант 18

Вариант 19 Вариант 20

Вариант 21 Вариант 22

Вариант 23 Вариант 24

Вариант 25

2.3 Решение типового варианта:

1 Задание

2.2.1а) Исследовать на совместность систему линейных неоднородных алгебраических уравнений с неизвестными и в случае совмест­ности найти решение

Решение: Система состоит из -х уравнений с неизвестными, для исследование на совместность применяем теорему Кронекера – Капелли.

Матрица системы имеет вид /

Расширенная матрица системы .

1)Находим ранг расширенной матрицы системы методом элементарных преобразований, а именно применяя элементарные преобразования матрицы, приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду . Поменяем местами -ю и -ю строки матрицы:

Получим нули в столбце матрицы, за исключением элемента , для этого умножим элементы -й строки на и сложим с соответствующими элементами -й строки данной матрицы, затем умножим элементы -й строки на и сложим с соответствующими элементами -й строки:

Для приведения матрицы к ступенчатому виду необходимо получить нуль на месте элемента .Умножим -ю строку на и сложим с соответствующими элементами -й строки:

Матрица не имеет ступенчатого вида, так как . Продолжим нахождения ранга матрицы ,используя определение ранга матрицы. Наивысший порядок минора матрицы равен . Минором матрицы -го порядка является минор:

,

Найдем значение данного минора матрицы :

Значит, .

2)Найдем ранг матрицы .

.

Как видно, матрица системы после приведенных элементарных преобразований над матрицей является ступенчатой матрицей:

.

У ступенчатой матрицы количество ненулевых строк равно , а значит ранг матрицы равен : .

Таким образом, . По теореме Кронекера – Капели система несовместна,т.е. не имеет решения.

Ответ: система не имеет решения.

2.2.1б) Исследовать на совместность систему линейных неоднородных алгебраических уравнений с неизвестными и в случае совмест­ности найти решение

Решение: Применяем теорему Кронекера – Капели: система из - х уравнений с неивестными, для исследование на совместность применяем теорему Кронекера – Капелли.

А) Найдем ранг расширенной матрицы методом «окаймляющих миноров»:

У матрицы есть ненулевые элементы, то .

1) Возьмем минор -го порядка матрицы : (минор ).

2) Вычислим минор -го порядка , окаймляющий :

.

, значит, . Продолжаем процесс.

3) Вычислим минор 3-го порядка , окаймляющий :

.

Таким образом, ранг расширенной матрицы равен двум: .

В) Ранг матрицы системы : .

Итак, . По теореме Кронекера – Капели система совместна, т.е. имеет решения.

С) Найдем ранг системы: , а также , т.е. ранг системы равен числу неизвестных, значит, система обладает единственным решением.

D) Найдем решение системы, для этого найдем базисный минор расширенной матрицы системы: .

Выпишем систему, содержащую элементы базисного минора :

Система состоит из -х уравнений с неизвестными. Получим для неизвестных значения:

, .

Ответ: , .