2.4.2. Преобразование координат точки в пространственных механизмах

Рассмотренный выше принцип преобразования координат точки в плоских системах справедлив и для пространственных механизмов. Однако, система уравнений, определяющих преобразование координат точки в пространстве из системы X₁Y₁Z₁ в систему X₀Y₀Z₀ (рис. 2.18) будет выглядеть следующим образом:

Рис. 2.18. Схема расположения пространственных систем координат

x₀ = a + x₁ m₁₁ + y₁ m₁₂ + z₁ m₁₃ ,

y₀ = b + x₁ m₂₁ + y₁ m₂₂ + z₁ m₂₃ , ( 2.18 )

z₀ = c + x₁ m₃₁ + y₁ m₃₂ + z₁ m₃₃ ,

где x₁, y₁, z₁ - координаты точки в системе X₁Y₁Z₁;

x₀, y₀, z₀ - координаты точки в системе X₀Y₀Z₀;

a, b, c - координаты точки O₁ в системе X₀Y₀Z₀;

m₁₁ = cos (X₀^X₁); m₁₂ = cos (X₀^Y₁); m₁₃ = cos (X₀^Z₁);

m₂₁ = cos (Y₀^X₁); m₂₂ = cos (Y₀^Y₁); m₂₃ = cos (Y₀^Z₁);

m₃₁ = cos (Z₀^X₁); m₃₂ = cos (Z₀^Y₁); m₃₃ = cos (Z₀^Z₁) - направляющие косинусы.

Матричная форма записи системы уравнений (2.18) имеет вид:

= +  ,

где = X₀ - матрица-столбец координат точки в системе X₀Y₀Z₀;

= X₁ - матрица-столбец координат точки в системе X₁Y₁Z₁;

= L₁₀ - матрица-столбец параллельного переноса начала координат системы X₁Y₁Z₁ в начало координат системы X₀Y₀Z₀;

= V₁₀ – квадратная матрица поворота системы координат X₁Y₁Z₁ относительно системы X₀Y₀Z_0.

2.4.3. Кинематический анализ плоских рычажных механизмов 2-го класса

Рассмотрим последовательность проведения кинематического анализа плоских четырехзвенных механизмов, в состав которых входят структурные группы 2-го класса.

Четырехзвенный механизм структуры 1- 2(1):

На рис. 2.19 представлена схема кривошипно-коромыслового механизма, состоящего из стойки 0, входного звена 1, звеньев 2 и 3, образующих структурную группу 2-го класса 1-го вида.

Рис. 2.19. Кривошипно-коромысловый механизм

На рисунке l₀, l₁, l₂ и l₃ - размеры звеньев. Со звеньями 0, 1, 2 и 3 связаны системы координат X₀Y₀ , X₁Y₁ , X₂Y₂ и X₃Y₃ . Начала координат систем расположены в центрах кинематических пар А, В и С.

Уравнение преобразования координат для данной кинематической цепи будет иметь вид:

X_0(D) = V₁₀ L₂₁ + V₂₁ L₃₂ + V₃₂ X_3(D) , (2.19)

где X_3(D) = = - матрица-столбец координат точки D в системе X₃Y₃;

X_0(D) = = - матрица-столбец координат точки D в системе X₀Y₀ .

Матрицы поворотов во вращательных парах и параллельных переносов вдоль звеньев при переходе от одной системы координат к другой будут определяться следующим образом:

V₃₂ = ; L₃₂ = ;

V₂₁ = ; L₂₁ = ;

V₁₀ = .

Произведя действия над матрицами согласно выражению (2.19), получим систему уравнений:

l₁cos + l₂cos( ) + l₃cos( ) = l_{0 ,} (2.20)

l₁sin + l₂sin( ) + l₃sin( ) = 0 .

Кроме того, необходимо учесть, что сумма внутренних углов четырехугольника равна 2 , т.е.

,

или

. (2.21)

Решая систему уравнений (2.20) с учетом (2.21), получаем зависимости

= ( ), = ( ) и = ( ): , ,

,

где ,

.

Дифференцированием по углу поворота входного звена получим величины аналогов угловых скоростей и ускорений.

Четырехзвенный механизм структуры 1- 2(2):

Схема кривошипно-ползунного механизма, в составе которого имеется структурная группа 2-го класса 2-го вида (звенья 2 и 3), показана на рис. 2.20.

Рис. 2.20. Кривошипно-ползунный механизм

Входное звено – звено 1. l₁ и l₂ - размеры звеньев; е – величина смещения оси перемещения звена 3 относительно оси X₀ . Со звеньями 0, 1, 2 и 3 связаны системы координат X₀Y₀ , X₁Y₁, X₂Y₂ и X₃Y₃ . Начала координат систем расположены в центрах вращательных кинематических пар А, В и С. Уравнение преобразования координат для кинематической цепи механизма имеет вид:

X_0(C) = V₁₀ L₂₁ + V₂₁ L₃₂ + V₃₂ X_3(C) , (2.22)

где X_3(C) = = - матрица-столбец координат точки C в системе X₃Y₃;

X_0(C) = = - матрица-столбец координат точки C в системе X₀Y₀.

Матрицы поворотов во вращательных парах и параллельных переносов вдоль звеньев имеют вид:

V₃₂ = ; L₃₂ = ;

V₂₁ = ; L₂₁ = ;

V₁₀ = .

Произведя действия над матрицами в соответствии с выражением (2.22), получим систему уравнений:

l₁cos + l₂cos( ) = x_с, (2.23)

l₁sin + l₂sin( ) = e.

Для упрощения решения уравнений следует учесть, что

.

В результате решения получаем следующие зависимости:

;

;

.

При дифференцировании полученных выражений по определяются искомые величины аналогов скоростей и ускорений.

Четырехзвенный механизм структуры 1 - 2(3):

На рис. 2.21 показана схема кулисного механизма, в состав которого входит структурная группа 2-го класса 3-го вида, образованная звеньями 2 и 3. Входное звено – звено 1. l₁ – длина кривошипа АВ. Со звеньями 0, 1, 2 и 3 связаны системы координат X₀Y₀, X₁Y₁, X₂Y₂ и X₃Y₃ . Начала координат систем расположены в центрах вращательных кинематических пар А, В и С. X_C и Y_C - координаты точки С в системе X₀Y₀ .

Рис. 2.21. Кулисный механизм

Уравнение преобразования координат будет иметь вид

X_0(C) = V₁₀ L₂₁ + V₂₁ L₃₂ + V₃₂ X_3(C) , (2.24)

где X_3(C) = = - матрица-столбец координат точки C в системе X₃Y₃;

X_0(C) = = - матрица-столбец координат точки C в системе X₀Y₀ .

Матрицы V_i,i-1 и L_i,i-1 будут определяться следующим образом:

V₃₂ = ; L₃₂ = ;

V₂₁ = ; L₂₁ = ;

V₁₀ = .

Произведя преобразования согласно (10), получим систему уравнений:

l₁cos + l₂cos( ) = x_С , (2.25)

l₁sin + l₂sin( ) = y_C .

Решая систему уравнений и учитывая, что

,

получаем зависимости:

;

;

.

Дифференцированием полученных выражений по получают величины соответствующих аналогов скоростей и ускорений.

Четырехзвенный механизм структуры 1 - 2(4):

На рис. 2.22 показана схема механизма, в состав которого входит структурная группа 2-го класса 4-го вида, образованная звеньями 2 и 3. Входное звено – звено 1. Со звеньями 0, 1 и 2 связаны системы координат X₀Y₀ , X₁Y₁ и X₂Y₂ . Начала координат систем расположены в центрах вращательных кинематических пар А и В. X_D (X_D = а + с) и Y_D - координаты точки D в системе X₀Y₀ .

Рис. 2.22. Рычажный механизм структуры 1 – 2(4)

Уравнение преобразования координат будет иметь вид:

X_0(D) = V₁₀ L₂₁ + V₂₁ L₃₂ + V₃₂  X_3(D) , (2.26)

где X_3(D) = = - матрица-столбец координат точки D в системе X₃Y₃;

X_0(D) = = - матрица-столбец координат точки D в системе X₀Y₀.

Матрицы поворотов во вращательных парах и параллельных переносов вдоль звеньев при переходе от одной системы координат к другой будут определяться следующим образом:

V₃₂ = ; L₃₂ = ;

V₂₁ = ; L₂₁ = ;

V₁₀ = .

Произведя преобразования согласно (2.26), получим систему уравнений:

l_AB cos + b cos( ) - c sin( ) = a + c , (2.27)

l_AB sin +b sin( ) + c cos( ) = y_D .

Учитывая, что

и ,

а также, что

cos = 0 и sin = -1 ,

получаем систему уравнений (2.27) в следующем виде:

l_AB cos = a ,

l_AB sin - b = y_D .

Из данных уравнений находим искомые зависимости:

l_AB = ,

y_D = l_AB sin - b .

Дифференцированием полученных выражений по получаем величины соответствующих аналогов скоростей и ускорений.

Четырехзвенный механизм структуры 1 - 2(5):

На рис. 2.23 показана схема механизма, в состав которого входит структурная группа 2-го класса 5-го вида, образованная звеньями 2 и 3. Входное звено – звено 1. l₁ – длина кривошипа АВ. Со звеньями 0, 1 и 2 связаны системы координат X₀Y₀ , X₁Y₁ и X₂Y₂ . Начала координат систем расположены в центрах вращательных кинематических пар А и В. X_D и Y_D - координаты точки D в системе X₀Y₀ .

Рис. 2.23. Рычажный механизм структуры 1 – 2(5)

Уравнение преобразования координат будет иметь вид

X_0(D) = V₁₀ ( L₂₁ + V₂₁ X_2(D) ), (2.28)

где X_2(D) = = - матрица-столбец координат точки D в системе X₂Y₂;

X_0(D) = = - матрица-столбец координат точки D в системе X₀Y₀ .

Матрицы V_i,i-1 и L_i,i-1 будут определяться следующим образом:

V₂₁ = ; L₂₁ = ;

V₁₀ = .

Произведя преобразования согласно (2.28), получим систему уравнений:

l₁cos + l_BDcos( ) = x_D , (2.29)

l₁sin + l_BDsin( ) = y_D .

Решая систему уравнений и учитывая, что

= /2 ,

получаем зависимости:

x_D = l₁ cos ;

l_BD = y_D – l₁ sin .

Дифференцированием полученных выражений по получают величины соответствующих аналогов скоростей и ускорений.

Последовательность кинематического анализа многозвенных механизмов 2-го класса

При кинематическом анализе многозвенного механизма его кинематическую цепь следует рассматривать как состоящую из простых кинематических цепей, представляющих собой замкнутые контуры. Определив кинематические характеристики для первого контура, в состав которого входит входное звено механизма, последовательно переходят к другим, исследуя таким образом движение всех звеньев механизма.

На рис. 2.24 показана кинематическая цепь шестизвенного механизма, состоящая из двух замкнутых контуров. Контур I образован стойкой 0 и подвижными звеньями 1, 2 и 3; контур II – стойкой 0 и подвижными звеньями 3, 4 и 5. Выходное звено 3 контура I является входным для контура II.

Рис. 2.24. Схема плоского шестизвенного рычажного механизма

Уравнения преобразования координат для каждого контура имеют следующий вид:

для контура I X₀^I = M₃₀^I  X₃^I ,

для контура II X₀^II = M₅₀^II X₅^II ,

где X₃^I - матрица-столбец координат замыкающей точки контура I в системе X₃^IY₃^I ;

X₀^I - матрица-столбец координат замыкающей точки контура I в системе X₀^IY₀^I ;

M₃₀^I - результирующая матрица преобразования для контура I ;

X₅^II - матрица-столбец координат замыкающей точки контура II в системе X₅^IIY₅^II ;

X₀^II - матрица-столбец координат замыкающей точки контура II в системе X₀^IIY₀^II ;

M₅₀^II - результирующая матрица преобразования для контура II.

Если при кинематическом анализе механизма необходимо определить кинематические характеристики движения точки, лежащей на звене, то составляется уравнение замкнутости контура кинематической цепи для этой точки. Например, требуется выполнить кинематический анализ движения точки К, лежащей на звене 2 кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.25).

Рис. 2.25. Расположение точки К на звене механизма

Уравнение преобразования координат точки К будет иметь вид:

X_0(K) = V₁₀ ( L₂₁ + V₂₁ X_2(K) ), (2.30)

где X_2(K) = - матрица-столбец координат точки K в системе X₂Y₂;

X_0(K) = - матрица-столбец координат точки K в системе X₀Y₀;

Выполнив действия в соответствии с (16), получим систему уравнений:

l₁cos + l_Kcos( ) = x_K , (2.31)

l₁sin + l_Ksin( ) = y_K .

Таким образом, имеем зависимости изменения координат точки К в системе X₀Y₀ : x_K = x_K( ), y_K = y_K( ) . Радиус-вектор точки К: . Длина радиуса-вектора будет определена как r = .

Продифференцировав зависимости x_K = x_K( ) и y_K = y_K( ) по , определим величины аналогов скоростей и ускорений изменения координат точки К, а затем и величины аналогов скорости и ускорения движения точки К.

V_K( ) = ;

a_K( ) = .