Примеры Задача 1 анализ ряда распределений

Имеются следующие выборочные данные (выборка 10 процентная, механическая) о стоимости основных производственных фондов и стоимости произведенной продукции по 40-ка однородным предприятиям одной из отраслей промышленности.

1 Таблица - Исходные данные по выборке

№ завода	Стоимость ОПФ, среднегодовая , млн. руб.	Стоимость продукции, млн. руб.	№ завода	Стоимость ОПФ, среднегодовая , млн. руб.	Стоимость продукции, млн. руб.
1	6,0	11,1	21	6,7	12,1
2	4,9	9,4	22	7,5	13,4
3	3,8	7,1	23	8,4	14,7
4	4,2	7,9	24	9,1	16,5
5	4,4	8,3	25	4,6	8,8
6	4,7	9,0	26	4,8	9,1
7	5,5	10,3	27	4,3	8,1
8	6,3	11,7	28	3,9	7,3
9	7,2	12,9	29	3,6	6,7
10	8,1	14,2	30	2,0	4,0
11	8,7	15,1	31	3,2	5,9
12	11,0	18,0	32	2,9	5,0
13	5,1	9,7	33	3,5	6,5
14	5,6	10,5	34	3,3	6,1
15	1,0	3,0	35	4,1	7,7
16	3,4	6,3	36	4,5	8,7
17	3,7	6,9	37	5,8	10,8
18	4,0	7,5	38	6,9	12,5
19	5,3	10,0	39	7,8	13,8
20	6,1	11,4	40	6,5	12,0

По исходным данным:

1 а) постройте статистический ряд распределения заводов по стоимости произведенной продукции, образовав 5 групп с равными интервалами. Постройте график ряда распределения,

б) рассчитайте характеристики ряда распределения заводов по стоимости произведенной продукции: среднее арифметическое значение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации. Сделайте выводы,

2 а) с вероятностью 0,954 определите ошибку выборки и для средней стоимости произведенной продукции на один завод и границы, в которых будет находиться средняя стоимость произведенной продукции в отрасли (в генеральной совокупности).

б) с вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для доли заводов со стоимостью произведенной продукции свыше 12 млн. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

3 а) методом аналитической группировки установите наличие корреляционной связи между стоимостью основных производственных фондов (ОПФ) и стоимостью произведенной продукции. Результаты оформите рабочей и аналитической таблицами.

б) измерьте тесноту корреляционной связи между стоимостью ОПФ и стоимостью произведенной продукции эмпирическим корреляционным отношением. Сделайте выводы.

Решение

1. а) построим статистический ряд распределения заводов по стоимости произведенной продукции. На первом этапе определим величину равного интервала ряда распределения по формуле 1:

(млн. руб.), (1)

где у - стоимость произведенной продукции (см. данные табл.1 графы 3 и 6).

На втором этапе построим группы заводов по стоимости произведенной продукции и произведем подсчет числа заводов в каждой группе. Результаты подсчетов оформим в виде таблицы 2.

Таблица 2 - Распределение заводов по стоимости, произведенной продукции

Группы заводов по стоимости продукции, млн. руб. у	Число заводов ( )	Число заводов, в процентах к итогу ( ), %	Накопленные частоты ( )	Центр интервала (уiц)
3-6 6-9 9-12 12-15 15-18	4 15 11 7 3	10,0 37,5 27,5 17,5 7,5	4 19 30 37 40	4.5 7.5 10.5 13.5 16.5
Итого	40	100,0	---	---

б) по ряду распределения заводов по стоимости произведенной продукции (табл.2) рассчитаем среднюю стоимость продукции на один завод, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

Среднюю стоимость произведенной продукции можно определить по формуле 2 средней арифметической взвешенной:

. (2)

Среднее квадратическое отклонение можно определить по формуле 3:

. (3)

Дисперсию можно определить по формуле 4:

. (4)

Замечание: для упрощения записи формул в литературе иногда опускают параметры суммирования и указатель порядкового номера элемента суммирования; будем считать, что если в записи формулы использован знак - - то суммирование выполняется по всему списку элементов n.

Для вычисления дисперсии в программном приложении EXCEL WINDOWS можно воспользоваться стандартной функцией

= ДИСПР (<диапазон>) – для генеральной совокупности;

= ДИСП (<диапазон>) – для выборки – из категории «математические».

Среднее квадратическое отклонение равное 3,27 млн. руб. показывает, что стоимость продукции каждого завода в выборочной совокупности отклоняется от средней стоимости продукции на ± 3,27 млн. руб.

, (<40%) (5)

Коэффициент вариации (формула 5), равный 33%, показывает умеренную вариацию признака – стоимости произведенной продукции – в выборочной совокупности. Следовательно, выборочную среднюю можно использовать в дальнейшем в расчетах [1, стр. 124-139].

C вероятностью 0,954 определим ошибку выборки для средней стоимости произведенной продукции на один завод и границы, в которых будет находится средняя стоимость продукции в данной отрасли в генеральной совокупности.

Из условия задачи нам ясно:

N=400 заводов –численность генеральной совокупности,

n=40 заводов – численность выборочной совокупности,

=9,75 млн. руб. – выборочная средняя,

=10,69 – выборочная дисперсия,

Р=0,954 – заданная вероятность.

Предельная ошибка выборки для средней при механическом способе отбора определяется по формуле 6:

, (6)

где t - коэффициент доверия, который определяется по таблице стандартного нормального распределения. При P=0,954, t=2. Вычислим ошибку выборки средней стоимости произведенной продукции по формуле 7:

. (7)

Определим нижнюю границу генеральной средней (форм. 8):

_{(млн. руб.). (8)}

Определим верхнюю границу генеральной средней (форм. 9):

_{(млн. руб.). (9)}

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя стоимость произведенной продукции в генеральной совокупности будет находиться в пределах

8,8 млн. руб. ≤у. ≤ 10.7 млн. руб.

Определим долю заводов со стоимостью продукции свыше 12 млн. руб. в выборочной совокупности по формуле 10 (см. табл. 2):

_{, (10)}

где m - число заводов со стоимостью произведенной продукции свыше 12 млн. руб.;

n – число заводов в выборке;

_.

Вычислим ошибку выборки для доли с вероятностью 0,954 по формуле 11:

. (11)

Определим нижнюю границу генеральной доли (форм. 12):

Определим верхнюю границу генеральной доли:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля заводов со стоимостью произведенной продукции свыше 12 млн. руб. в генеральной совокупности будет находится в пределах 12%≤ Р ≤ 38% [1]

3. Методом аналитической группировки установим наличие корреляционной связи между стоимостью основных производственных фондов и стоимостью произведенной продукции.

На первом этапе строим макет аналитической таблицы 3.

Таблица 3 - Группировка заводов по стоимости основных производственных фондов

Группировка заводов по стоимости ОПФ (среднегодовая)	Число заводов	Стоимость ОПФ (среднегодовая), млн. руб.		Стоимость произведенной продукции, млн. руб.
		Всего	На 1 заводе	Всего	На 1 заводе

На втором этапе определим интервал группировки заводов по стоимости основных производственных фондов и построим группы заводов по признаку-фактору (X)

Интервал группировки определим по формуле (см. табл.1, графы 2 и 5).

(млн. руб.)

Определим границы интервалов в группах заводов по стоимости основных производственных фондов, млн. руб. - I гр. от 1 до 3; II гр. от 3 до 5; III гр. от 5 до 7; IV гр. от 7 до 9 и V гр. от 9 до 11.

Для заполнения аналитической таблицы предварительно строим рабочую таблицу 4.

Таблица 4 - Группировка заводов по стоимости основных производственных фондов

Группы заводов по стоимости основных произв. фондов, среднегодовая, млн. руб.	№ завода	Стоимость основных произв. фондов среднегодовая, млн. руб.	Стоимость произведённой продукции, млн. руб.
1	2	3	4
1-3	15 30 32	1.0 2.0 2.9	3.0 4.0 5.0
Итого по группе	3	5.9	12.0
3-5	31 34 16 33 29 17 3 28 18 35 4 27 5 36 25 6 26 2	3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4,8 4,9	5.9 6,1 6,3 6,5 6,7 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 8,1 8,3 8,7 8,8 9,0 9,1 9,4
Итого по группе	18	72,9	137,3

Продолжение таблицы 4

1	2	3	4
	13 19 7 14 17 1 20 8 40 21 38	5,1 5,3 5,5 5,6 5,8 6,0 6,1 6,3 6,5 6,7 6,9	9,7 10,0 10,3 10,5 10,8 11,1 11,4 11,7 12,0 12,1 12,5
Итого по группе	11	65,8	122,1
7-9	9 22 39 10 23 11	7,2 7,5 7,8 8,1 8,4 8,7	12,9 13,4 13,8 14,2 14,7 15,1
Итого по группе	6	47,7	84,1
9-11 Итого по группе	24 12 2	9,1 11,0 20,1	16,5 18,0 34,5
Всего по группам	40	212,4	390,0

Данные рабочей таблицы перенесём в макет аналитической таблицы 5.

Таблица 5 - Группировка заводов по стоимости основных производственных фондов

Группа заводов по стоимости основных произв. фондов (среднегодовая)	Число заводов	Стоимость основных произв. фондов (среднегодовая), млн. руб.		Стоимость произведённой продукции, млн. руб.
		Всего	На 1 завод	Всего	На 1 завод
1-3 3-5 5-7 7-9 9-11	3 18 11 6 2	5,9 72,9 65,8 47,7 20,1	1,96 4,05 5,98 7,95 10,05	12,0 137,3 122,1 84,1 34,5	4,00 7,63 11,10 14,01 17,25
	40	212,4	5,31	390,0	9,75

(1. стр. 42-61).

Из таблицы 5 видна прямая корреляционная связь между стоимостью основных производственных фондов и стоимостью произведенной продукции, т.к. с увеличением стоимости основных производственных фондов увеличивается стоимость произведенной продукции на один завод.

Тесноту корреляционной связи между стоимостью основных производственных фондов и стоимостью произведенной продукции измерим эмпирическим корреляционным отношением, которое определяется по формуле:

где межгрупповая дисперсия, - общая дисперсия.

Расчет межгрупповой дисперсии стоимости продукции (результативного признака) определяем по данным аналитической таблицы (см. табл.7, гр.6) по формуле:

,

где - групповое среднее, - общая средняя.

Таблица 6 - Расчет межгрупповой дисперсии стоимости произведенной продукции

Группы заводов по стоимости основных произв. фондов, млн.руб.	Число заводов	Стоимость произведённой продукции на 1 завод, млн. руб., у
1-3 3-5 5-7 7-9 9-11	3 18 11 6 2	4,00 7,63 11,10 14 17,25	-5,75 -2,12 1,35 -4,25 7,50	33,06 4,49 18,22 18,06 56,25	99,18 80,82 20,02 108,36 112,50
Итого	40	9,75	-	-	420,88

Вычислим межгрупповую дисперсию результативного признака:

Общая дисперсия в нашей задаче уже определена в задании 1 пункт "б" и равна _.

Определим эмпирическое корреляционное отношение по формуле:

где - коэффициент детерминации, показывающий, что вариация стоимости произведенной продукции на 98,4% определяется вариацией стоимости основных производственных фондов, следовательно, стоимость основных производственных фондов является главным фактором, который оказывает влияние на стоимость произведенной продукции.

Эмпирическое корреляционное отношение равное 0.99 показывает тесную связь между стоимостью основных производственных фондов и стоимостью производственной продукции (1, стр. 101-110).