2. Проверка адекватности модели по сглаженному ряду

Для определения ряда остатков необходимо рассчитать теоретические уровни временного ряда. Для первого уровня ряда теоретическое значение определяется как:

– в случае линейной модели,

- в случае параболической модели.

Теоретические уровни временного ряда представлены в Приложении 6 – линейная модель, и в Приложении 7 – параболическая модель.

Результаты расчетов теоретических значений импорта товаров в РФ в месяц для линейной и параболической моделей представлены на рисунке 9.

Рисунок 9 – График динамики импорта товаров в РФ и теоретических значений, рассчитанных по моделям

Далее для каждого уровня ряда рассчитывается отклонение фактических значений от рассчитанных по модели: (Приложение 6, Приложение 7).

Проверка гипотезы об отсутствии автокорреляции остатков

Наиболее распространенным методом проверки гипотезы о наличии автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина – Уотсона, реализуемый в несколько этапов:

Необходимо рассчитать суммы квадратов остатков (приложение 6, приложение 7).

Рассчитывается сумма квадратов разностей между соседними остатками (суммирование осуществляется по всем уровням ряда, начиная со второго) (приложение 6, приложение 7).

Далее рассчитывается наблюдаемое значение статистики Дарбина – Уотсона по формуле:

В линейной модели d = 11,18; в параболической d = 9,93.

Проверка гипотезы об отсутствии автокорреляции основывается на сравнении наблюдаемого d и критических значений d₁ и d₂ статистики Дарбина-Уотсона (линейная модель d₁ = 1,48, d₂ = 1,80; параболическая модель d₁ = 1,56, d₂ = 1,72)

Сам критерий формулируется следующим образом:

Если d < 2, то проверяется гипотеза о положительной автокорреляции:

- если d < d₁, гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;

- если d₁<= d <= d₂, данных для принятия решения недостаточно;

- если d > d₂, гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается.

Если d > 2, то проверяется гипотеза об отрицательной автокорреляции:

- если 4 – d < d₁, гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;

- если d₁<= 4 – d <= d₂, данных для принятия решения недостаточно;

- если 4 – d > d₂, гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается.

Сопоставив найденные данные с указанными выше условиями получим, что гипотеза об отсутствии отрицательной автокорреляции в линейной и параболической модели отвергается, т.е. автокорреляция присутствует.

Проверка гипотезы о нормальности распределения остатков

Приблизительная проверка гипотезы о нормальности распределения ряда остатков может быть осуществлена на основе показателей асимметрии и эксцесса.

1. Рассчитайте суммы квадратов, третьих и четвертых степеней остатков (Приложение 6, Приложение 7).

2. Рассчитайте коэффициенты асимметрии и эксцесса по формулам:

; где n – число уровней ряда.

Сделав расчеты по нашим данным получим, что для линейной модели

А = -0,2 и Э = -0,5; для параболической модели А = 0,1 и Э = -0,5.

Так же рассчитываются среднеквадратические ошибки этих коэффициентов по формулам:

;

Для линейной и параболической модели ошибки одинаковы и равны 0,3 и 0,5 соответственно.

3. Проверка гипотезы о нормальности распределения остатком основывается на сравнении коэффициентов асимметрии и эксцесса с оценками их среднеквадратических ошибок. Сам критерий формулируется следующим образом:

- если одновременно выполняются неравенства и , то гипотеза о нормальном распределении остатков не отвергается;

- если хотя бы одно из неравенств и , то гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается;

- во всех других случаях для проверки гипотезы требуется применение более мощных критериев.

Т.о. для проверки гипотезы о нормальном распределении остатков требуется рассчитать значения нескольких параметров. Для остатков линейной модели эти параметры равны ; ;

Следовательно, гипотеза о нормальном характере распределения остатков не отвергается.

Аналогичные расчеты проводятся для остатков параболической модели: ; ;

Следовательно, гипотеза о нормальном распределении остатков не отвергается.

Все расчеты мы проводили с данными сглаженного временного ряда.

В сглаженном временном ряду, в линейной и параболической модели гипотеза об отсутствии отрицательной автокорреляции отвергается. Для этих моделей гипотезы о нормальном характере распределения остатков не отвергается. Исходя из полученных данных следует, что эти модели не считаются полностью адекватными описываемому процессу.