2. Построение точечных и интервальных оценок прогнозов Построение точечных оценок прогнозов

Построение точечных прогнозов уровней временного ряда осуществляется на основании оценок параметром моделей аналогично расчету теоретических значений уровней временного ряда, т.е.:

… … где

– прогноз временного ряда на 1 период времени,

l – период упреждения,

T – последняя точка временного интервала, на котором проводилось оценивание параметров модели.

Такой прогноз основывается на предположении о сохранения тенденции развития динамики исследуемого ряда, т.е. что уровни временного ряда и в будущем можно оценить на основании модели.

Построение прогноза является продолжением расчета теоретических уровней временного ряда. Сам прогноз определяется периодом упреждения, поэтому сначала необходимо продолжить временную шкалу. Для линейной модели a₁ = 154.27 и a₀ =16409. Для параболической модели a₂ = 2.24; a₁ = -27.099 и a₀ = 18930.

Прогнозы на следующие периоды построенные по линейной и параболической моделей представлены в таблице 9.

Таблица 9 – Прогнозы на следующие периоды

Линейная модель		Параболическая модель
t	y'(t)	t	y'(t)
81	28904,87	41	21583,04
82	29059,14	42	21741,79
83	29213,41	43	21905,02
84	29367,68	44	22072,74
85	29521,95	45	22244,93
86	29676,22	46	22421,59

Найденные значения y’(t) и полученные прогнозы показаны на рис. 10.

Рисунок 10 – График динамики теоретических значений и точечных прогнозов, рассчитанных по моделям

Точечный прогноз, рассчитанный по линейной модели, соответствует действительности больше, чем точечный прогноз по параболической модели.

Построение интервальных оценок прогнозов

Точечные прогнозы уровней временного ряда могут существенно отличатся от фактических значений за счет различного рода смещений. Поэтому в статистической практике предпочтение отдается интервальным оценкам, т.е. представление прогнозов в виде интервала значений:

Линейная модель

Построение интервальной оценки прогноза временного ряда удобнее начать с расчетов тех составляющих ширины доверительного интервала прогноза, которые не зависят от периода упреждения, т.е. S_y и t_α.

1. По определению среднеквадратическое отклонение фактических уровней временного ряда y_t от рассчитанных по модулю равно:

где n – число уровней ряда (n = 80); k – число параметров модели (k = 2). В нашем примере S_y = 4494,68.

2. Значение t_α = St(α; n – 1) определяется на основании t-распределения Стьюдента для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы n – 1. В нашем примере t_α = 1,99.

3. В случае линейной модели K(l) определяется по формуле:

, где

Т_кон – последняя точка временного интервала, на котором проводилось оценивание параметров модели.

Т_нач – первая точка временного интервала, на котором проводилось оценивание параметров модели.

- середина временного интервала, на котором проводилось оценивание параметров модели. В нашем примере К(1) = 1,02.

4. Теперь границы доверительного интервала прогноза на один период вперед можно рассчитать по формулам:

В нашем случае ;

5. Далее найдем значение границ доверительного интервала для всех ячеек прогнозируемого интервала (Таблица 10).

Таблица 10 – Расчет доверительного интервала прогноза

t	К(l)	y͠(t)мин	y͠(t)мак
81	1,02	19775,04	38034,70
82	1,02	19922,88	38195,40
83	1,02	20070,58	38356,24
t	К(l)	y͠(t)мин	y͠(t)мак
84	1,02	20218,13	38517,23
85	1,02	20365,52	38678,38
86	1,03	20512,76	38839,68

Результаты интервальных оценок прогнозов импорта товаров для линейной модели представлены на рисунке 11.

Рисунок 11 – График теоретических значений, полученных по линейной модели, интервальных прогнозов

Параболическая модель

Как и в случае линейной модели, в случае параболы построение интервальной оценки прогноза временного ряда удобнее начать с расчетов S_y и t_α.

1. По определению среднеквадратическое отклонение фактических уровней временного ряда y_t от рассчитанных по модулю равно:

где n – число уровней ряда (n = 80); k – число параметров модели (k = 3).

В нашем примере S_y = 6652,05.

2. Значение t_α = St(α; n – 1) определяется на основании t-распределения Стьюдента для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы n – 1. В нашем примере t_α = 1,99.

3. В случае линейной модели K(l) определяется по формуле:

, где

Т_кон – последняя точка временного интервала, на котором проводилось оценивание параметров модели.

Т_нач – первая точка временного интервала, на котором проводилось оценивание параметров модели.

– время упреждения, для которого делается прогноз.

В нашем примере К(1) = 1,07.

4. Теперь границы доверительного интервала прогноза на один период вперед можно рассчитать по формулам:

В нашем случае ;

5. Далее найдем значение границ доверительного интервала для всех ячеек прогнозируемого интервала (Таблица 11).

Таблица 11 – Расчет доверительного интервала прогноза

t	К(l)	y͠(t)мин	y͠(t)мак
84	1,07	7404,22	35761,85
85	1,07	7612,02	35871,57
86	1,07	7677,31	36132,74
t	К(l)	y͠(t)мин	y͠(t)мак
87	1,08	7739,85	36405,62
88	1,09	7799,43	36690,42
89	1,1	7855,82	36987,36

Результаты интервальных оценок прогнозов импорта товаров для параболической модели представлены на рисунке 12.

Рисунок 12 – График теоретических значений, полученных по параболической модели, интервальных прогнозов

Определит точность для параболической и линейной моделей:

Средняя абсолютная ошибка находиться по формуле:

.

Для линейной модели она равна 3626,94; для параболической – 3584,7.

Средняя относительная ошибка рассчитывается по формуле:

Для линейной модели она равна 18,9%; для параболической – 18,4%.

Среднеквадратическая ошибка рассчитывается по формуле:

Для линейной модели она равна 4438; для параболической – 4307,6.

Лучшим вариантом, из рассмотренных, является построение интервальных оценок прогноза для линейной модели, так как его границы доверительного интервала наиболее точно соответствуют действительности, чем границы доверительного интервала для параболической модели. Но при этом точность линейной модели ниже, чем параболической.