11.2. Математична теорія ігор з «природою».
У випадку, коли між сторонами (учасниками) відсутній «антагонізм» (наприклад, в процесі роботи підприємства і торгових посередників), такі ситуації називають «іграми з природою» [16, 18].
Тут перша сторона приймає рішення, а друга сторона — «природа» — не виявляє першою свідомої агресивної протидії, але її реальна поведінка невідома.
Ризик rіj при користуванні стратегією Сі і стану «природи» Пj оцінюється різницею між максимально можливим виграшем при даному стані природи Віmax і виграшем Віj при вибраній стратегії Сі:
(11.3)
Виходячи з цього визначення, можна оцінювати максимальний ризик кожного рішення:
.
(11.4)
Рішення можуть прийматися за результатами аналізу ряду критеріїв.
Критерій, оснований на відомих ймовірних станах «природи» (наприклад, попиту, за даними аналізу за попередні роки):
• якщо відомі ймовірності станів «природи» Pi = Р(Пі), тоді в ролі показника ефективності (раціональності, обґрунтованості) стратегії Сі береться середнє (математичне очікування) — виграш застосування цієї стратегії:
,
(11.5)
а оптимальною вважають стратегію, для якої цей показник ефективності має максимальне значення, тобто
.
(11.6)
• якщо кожному рішенню Сі відповідає багато можливих результатів Віj з ймовірностями Ріj, а середнє значення виграшу визначиться за (??), то в цьому випадку можна використати стратегію мінімального ризику для кожного і-го стану «природи»
.
(11.7)
Максимальний критерій Вальда. Тут вибирається рішення (в нашому випадку торгового підприємства), при якому гарантується максимальний виграш в найгірших умовах зовнішнього середовища (стану «природи»):
.
(11.8)
Критерій песимізму Гурвича (Гурвіца). Тут вибирається деякий компромісний варіант між двома крайностями з урахуванням як найгіршої, так і найкращої поведінки «природи». При цьому для кожного рішення буде лінійна комбінація мінімального і максимального виграшів і вибирається той, для якого ця величина виявиться найбільшою:
.
(11.9)
де х — показник «песимізму — оптимізму» (частіше всього приймається рівним величині 0,5).
Критерій максимального ризику Севіджа. Тут пропонується застосовувати мінімаксний критерій не до початкової платіжної матриці, а до нової матриці, яку багато хто (але не сам Севідж) називає матрицею "жалкування". Елементи матриці "жалкування" виходять з елементів платіжної матриці максимального елемента того ж стовпця. В цьому випадку вибирають ту стратегію, при якій величина ризику має мінімальне значення в самій несприятливій ситуації
,
(11.10)
щоб уникнути дуже великого ризику при виборі рішення.
Ітак, ми розглянули чотири підходи з вибором відповідних критеріїв, результати рішення за якими, звичайно будуть різними. Справедливо виникає питання: яка альтернатива дійсно краща? Чи повинні ми вчинити демократично і прийняти компромісне ранжування альтернатив?
З цієї проблеми є два виходи. Перший — розробка критеріїв чи вимог, для вибору критерію рішення. Другий — використання будь-яких можливих уривків інформації про ймовірності появи різних станів природи чи проведення експериментів для одержання оцінок цих можливостей. Однак висновок найбільших спеціалістів у цій галузі невтішний: «Не існує критерію рішення, щоб не використовував ймовірних оцінок для стану природи і разом з тим щоб задовольняв відповідні «розумні» вимоги до «хорошого критерію» [36]. Тому використання знань індивіда про ймовірності стану «природи» чи отримання нових знань шляхом эксперименту буде кращим виходом.