Тема 11. Декартові координати та вектори на площині.

Мета

знати: поняття вектора,його види,властивості , декартові координати на площині ;

вміти: знаходити відстані в просторі,виконувати дії над векторами.

Опрацюйте самостійно текст:

Декартові координати та вектори на площині

1.Декартові координати.

2.Вектори .

1 . На рисунку проведено на площині через точку О дві взаємно перпендикулярні прямі х і у – осі координат,вісь х - вісь абсцис , вісь у - вісь ординат, точка О – початок координат.

Кожна із осей точкою О розбивається на дві півосі: стрілкою позначена додатна, а друга - від’ємна. Осі координат ділять координатну площину на

4 чверті – I,II,III,IV. В межах однієї чверті знаки координат точки зберігаються (малюнок). Кожна точка на координатній площині має дві координати х і у . Якщо точка М належить осі х , то її координати (х;0); якщо на осі у - (0;у).

Відстань між двома точками площини А і В знаходиться за формулою АВ = .

Координати середини відрізка АВ обчислюються по формулі:

х = ; у = .

Рівняння кола а) з центром у початку координат має вид х² +у² = R² ;

б)з центром в точці (х₀ ; у₀) : .

2 . Величини, які характеризуються на тільки числом,але і напрямом,називаються векторними, або просто векторами. Геометрично вектор зображується відрізком з напрямом (рисунок). Якщо початок вектора – точка А, а його кінець - В, то вектор позначається . Інколи вектори позначають малими літерами: і т.п.

Вектори розташовані на одній прямій, або на паралельних ,називаються колінеарними(рисунок).

Якщо вектор має початком точку А , а кінцем – точку В ,

то його координати - числа виду а₁ = , а₂ = і . У рівних векторів відповідні координати рівні: а₁ = b₁ і а₂ = b₂ ; у колінеарних векторів відповідні координати пропорційні: . Довжина вектора знаходиться за формулою = .

Дії над векторами

1) додавання векторів: (а₁;а₂ ) ± (b₁;b₂) = ;

2) множення вектора на число: μ = ; μ = ;

Я кщо μ>0,то напрям μ збігається з напрямом і протилежний напряму , якщо μ<0 .

3) скалярний добуток : = ;

умова перпендикулярності : =0 ;

Формула знаходження косинуса кута між векторами: .

В результаті вивчення теми , дайте відповіді на запитання:

1.Відстань між точками А( 2;3) і В( 5; -1) дорівнює … .

а) 10; в) ;

б) 5; г) .

2.Середина відрізка з кінцями А( 1;-4) ,В( 7; 8) має координати… .

а) ( 4;2) ; в) ( 3;5) ;

б) ( 8;2) ; г) ( 6;10) .

3.Дано точки А( 1;7) ,В( 4; 2). Знайдіть вектор .

а) ( 1;-3) ; в) ( -5;3) ;

б) ( 3;-5) ; г) ( -3;5) .

4.Абсолютна величина вектора дорівнює… .

а) ±5; в) 7;

б) 25; г) 5.

5.Сумою векторів ( -7;-5) є вектор … .

а) ( 4;7) ; в) ( -10;-3) ;

б) ( -4;-7) ; г) ( -8;-5) .

6.Дано вектори ( 9;1) . Знайти вектор .

а) ( -2;1) ; в) ( -15;3) ;

б) ( 2;-1) ; г) ( 6;-7) .

7.Дано вектор . Знайти координати вектора -3 .

а) ; в) ;

б) ; г) .

Розв’яжи за зразком

Зразок

1. Точки А(-2;4),В(-6;12),С(2;8) – вершини паралелограма АВСD.

Знайти :а)координати точки перетину діагоналей паралелограма; б)довжини сторін паралелограма; в) координати його четвертої вершини.

Р озв’язання

а)Оскільки точка О – середина діагоналей

паралелограма, то х_с. = = 0;

у_с. = = 6 , де (-2;4) – координати

точки А, (2;8) – координати точки С;

б) АВ = СD = = = = 4 ;

ВС = АD = = = = 4 ;

в) знаходимо координати точки D використовуючи формули середини відрізка:точка О(0;6) , то х = 0∙2-(- 6) = 6 ; у = 6∙2 – 12 =0, D(6;0).

Відповідь: а) (0;6 ) ; б) 4 ;в) (6;0) .

Спробуй

2.Відрізок АВ – діагональ прямокутника АВСD, де С(1;2) , А( - 7 ;7) ,В( -1; -1). Знайти координати вершини D і периметр прямокутника АВСD .

Зразок

3.Дано точки А( 2;4) ,В( 1; 3),С(1,75;1,25) , D ( 3; 0). Знайти :

1)координати векторів і ;

2)вектор, який дорівнює - ;

3)кут між векторами і .

Розв’язання

1) = = ;

= ;

2) - = = ;

3) = = = 0,тому φ = 90° .

Спробуй

4. Дано точки А( 3;-1) ,В( 4; 1),С(2;0) , D ( 3; 1). Знайти :

1) координати векторів і ;

2) вектор, який дорівнює - ;

3)кут між векторами і .

Зміст

Передмова 3

Тема1.Функції та їх властивості 4

Тема2.Формули пониження степеня 6

Тема3.Застосування паралельного проектування 8

Тема4.Основні властивості найпростіших геометричних фігур 10

Тема5.Похідні вищих порядків 11

Тема6.Обчислення об’ємів тіл. Найпростіші диференціальні рівняння 13

Тема7.Правильні многогранники 15

Тема8.Комбінації геометричних тіл 17

Тема9.Схема Бернуллі. Закон великих чисел 19

Тема10.Розв’язування трикутників 21

Тема11.Декартові координати та вектори на площині 23