Тема 6. Обчислення об’ємів тіл. Найпростіші диференціальні рівняння.

Мета

знати:формулу для обчислення об’ємів тіл за допомогою інтегралу,

означення диференціального рівняння,його розв’язків;

вміти:знаходити об’єми тіл за допомогою інтегралу,розв’язувати

найпростіші диференціальні рівняння.

Опрацюйте самостійно:Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу:

підручник для 10-11 класів. К.:Зодіак –Еко ,2000;стр.362-367,§4;

стр.388-393,§6.

В результаті вивчення теми , дайте відповіді на запитання:

1.Записати формулу об’єму тіла обертання за допомогою інтеграла .

___________________________________________________________________

2.Яке рівняння називається диференціальним ?

___________________________________________________________________

3.Як визначають порядок диференціального рівняння ?

___________________________________________________________________

4.Що називають розв’язком диференціального рівняння ?

___________________________________________________________________

Розв’яжи за зразком

Зразок

1. Знайти об’єм тіла,утвореного обертанням навколо вісі абсцис криволінійної трапеції,обмеженої лініями у = х² +1, х = 0 , х = 1,у = 0.

Розв’язання

Побудуємо фігуру ,утворену обертанням криволінійної трапеції навколо вісі абсцис ,на координатній площині.

Об’єм даного тіла знаходиться за формулою

V= , де а = 0, b = 1, f(х)= х² +1 :

V = = =

= π =

= π =

= (од.куб.).

Спробуй

2. Знайти об’єм тіла,утвореного обертанням навколо вісі абсцис криволінійної трапеції,обмеженої лініями у = , х = 1 , х = 4,у = 0.

Зразок

3. Покажіть, що функція у = 3е^-5х є розв’язком диференціального рівняння

у' +5у = 0.

Розв’язання

у' + 5у = + 5∙ = 3∙ ( -5) ∙е^-5х + 15 е^-5х = - 15 е^-5х + 15 е^-5х = 0.

Спробуй

4. Покажіть, що функція у = 2 є розв’язком диференціального рівняння

у''= - 9у.

Розв’яжи самостійно

1. Знайти об’єм тіла,утвореного обертанням навколо вісі абсцис фігури, обмеженої лініями у = 2х, у = х + 3,х = 0, х = 1 .