2. Для процесу Пуассона є вірним твердження:

Ответ: г) все вищенаведене.

3. Нехай - рішення рівняння

де – сталі. Знайти

Решение. Найдем для начала :

Из чего можно получить обыкновенное дифференциальное уравнение:

Решение которого равно: .

Так как , то нам нужно найти явное выражение для . Найдем стохастический дифференциал для :

Откуда получаем

Тогда

(1)

Пусть , тогда из (1) следует обыкновенное дифференциальное уравнение:

Рассмотрим функцию . Дифференцируя ее, мы получим:

.

Проинтегрировав обе части и умножив на , получим

где константа определяется из начальных условий , и сл-но . И тогда получаем:

Тогда получаем

.

Вариант 4.

1. Знайти оптимальне управління та ціну в задачі р. Мертона у термінальному випадку.

Пусть – капитал инвестора в момент времени . Инвестор управляет своим капиталом следующим образом: – доля, вкладываемая в акции, 1- - доля вкладываемая на банковский счет. Тогда если, эволюция цены рискового актива описывается моделью Самуэльсона: то балансовое уравнение будет иметь вид:

Предположим, что инвестор поставил перед собой следующую задачу: начиная свою деятельность в момент времени ноль и к моменту времени иметь капитал в среднем самый большой в данных условиях, то есть составить такой портфель, чтобы иметь в конце срока , то есть в данном случае:

Решим эту задачу при помощи уравнения Беллмана.

Выпишем уравнение Беллмана:

(1)

Находим максимум по , приравнивая производную по от выражения

к нулю, получаем

(2)

откуда

Так как вторая производная от выражения (2) по равна:

то в случае, если в точке действительно будет максимум, где – оптимальное управление.

Решение ищем в виде , тогда при , получим

и

то есть отсюда делаем вывод, что точка, доставляет минимум и лежит правее отрезка .

Для положительных и производная от функции:

равна

то есть функция по возрастает. Таким образом, максимум достигается при

Подставляя и в (1) имеем:

или

откуда

2. Формула Іто використовується для:

Ответ: а) дифференціювання складної функції;

3. Припустимо, що є рішенням рівняння

причому . Знайти .

Решение: Пусть , тогда по формуле Ито получаем уравнения для

(1)

Воспользуемся следующим неравенством, которое следует из теоремы существования и единственности решения стохастического дифференциального уравнения:

Тогда в силу того, что из неравенства следует, что , поэтому . Отсюда, интегрируя (1) и вычисляя математическое ожидания от обеих частей, получаем:

С учетом того, что , имеем

Дифференцируя полученное соотношение по , находим

т.е. , где .

Вариант 5.

1. Описати неокласичні математичні моделі макроекономіки.

При описании экономической системы с помощью производственной функции эта система рассматривается как «черный ящик» на вход которого поступают ресурсы, а на выходе получается произведенный за некоторый период времени продукт. Если в качестве ресурсов рассматривать прошлый (накопленный) труд К в форме основных производственных фондов (его еще называют капиталом) и настоящий (живой) труд L, описываемый количеством занятых, а в качестве результата – валовой внутренней продукт Х, то экономика замещается своей моделью в форме наиболее распространенной двухфакторной производственной функции

(1)

Производственная функция (1) называется неоклассической, если она определена при всех неотрицательных значениях аргументов К и L, является непрерывной и дважды дифференцируемой по обоим аргументам при всех и обладает следующими свойствами:

1. При отсутствии хотя бы одного фактора производство невозможно:

для всех , всех (2)

2. При увеличении затрат ресурсов выпуск продукции возрастает:

для всех (3)

3. При увеличении количества одного из используемых ресурсов при постоянном количестве другого ресурса скорость роста выпуска продукции замедляется:

для всех (4)

4. При неограниченном увеличении количества хотя бы одного из используемых ресурсов выпуск продукции неограниченно возрастает:

для всех ,

для всех (5)

Одной из наиболее распространенных в макроэкономике неоклассических производственных функций является функция Кобба-Дугласа

(6)

В функции Кобба - Дугласа параметр А называется коэффициентом нейтрального технического прогресса, а параметр - коэффициентом эластичности по фондам Производственная функция называется линейно-однородной, если

для всех (7)

Легко проверить, что функция Кобба-Дугласа (6) удовлетворяет всем свойствам производственной функции (2)-(5) и является линейно-однородной.

Модель национальной экономики, предложенную Р.Солоу. В замкнутой односекторной экономической системе производится один универсальный продукт, который может как потреблять, так и инвестироваться.

Состояние экономики в момент времени t определяется следующими показателями:

1. Валовым внутренним продуктом ,

2. Основными производственными фондами ,

3. Числом занятых в производственной сфере ,

4. Инвестициями ,

5. Фондом непроизводственного потребления

Пусть годовой темп прироста числа занятых составляет , тогда для можно записать дифференциальное уравнение

(8)

решением которого является функция , где - число занятых в начальный момент времени.

Пусть за год выбывает доля основных производственных фондов, норма накопления составляет , а годовой валовой внутренний продукт определяется линейно-однородной неоклассической производственной функцией . Тогда износ и инвестиции в расчете на год равны и = соответственно, лаг капиталовложений отсутствует, значит, проект фондов составляет или

(9)

Перепишем уравнение (9) в виде

(10)

где мы учли, что , поскольку производственная функция является линейно-однородной (7).

При переходе в (10) к относительным показателям (фондовооруженности , народнохозяйственной производительности труда , удельным инвестициям на одного занятого и среднедушевому потреблению ) можно записать дифференциальное уравнение для фондовооруженности

или, поскольку производственная функция является линейно-однородной, а значит, по формуле (7)

Рассмотрим в качестве производственной функции функцию Кобба-Дугласа (6), при этом .

Введя обозначения , , получаем окончательно следующую теорему.

Теорема 1. (Модель Солоу). Проведение замкнутой односекторной экономической системы, удовлетворяющей предположениям модели Солоу, описывается (без учета влияния случайных факторов) следующей моделью:

(11)