3. Нехай - узагальнений пуассонівський процес, де відомі параметри: , , - інтенсивність пуассонівського процесу . Знайти для математичне очікування та дисперсію.

Решение: По формуле полного математического ожидания, используя независимость скачков от , находим

Аналогично получаем выражение для

Отсюда

Вариант 8.

1. Доказати нерівність Колмогорова-Гаєка-Рен'ї для мартінгал-різниць.

Теорема (неравенство Колмогорова–Гаека–Реньи для последовательности мартингал-разностей, дискретное время). Если выполнено

где – последовательность независимых случайных величин. То

(1)

для любой положительной возрастающей не случайной последовательности . Доказательство . Рассмотрим форму

где неотрицательная убывающая последовательность, причем .

Тогда

(2)

где В_i событие, состоящее в том, что впервые сровняется либо превысит кривую в момент времени Таким образом

и тогда

Можно привести следующую оценку снизу, для условных математических ожиданий:

Последнее неравенство следует из того факта, что первый член в левой части этого неравенства положителен, второй равен нулю, поскольку , а из осуществления по определению следует, что .

Тогда получаем, что

(3)

Таким образом, согласно (2) и (3) имеем

(4)

Взяв , мы видим, что (1) следует из (4). Теорема доказана.

2. Результатом прорідження пуассонівського потоку вимог з параметром є:

Ответ: б) пуассонівський потік з параметром , де -ймовірність того, що вимога буде збережена;

3. Нехай – рішення наступного рівняння

Показати, що також є рішенням деякого нелінійного стохастичного диференціального рівняння.

Решение: Восполуземся формулой Ито для функции . Заметим, что . Получим:

Подставляя , получаем стохастическое дифференциальное уравнение:

с начальным условием:

.

Вариант 9.

1. Описати властивості збереження субмартінгальності у марківські моменти часу.

Пусть – случайный процесс, измеримый относительно расширяющегося семейства -алгебр _t, . Пусть – случайная величина, принимающая значения из или значение +. Эту случайную величину можно трактовать как случайное время. Будем говорить, что – марковский случайный момент относительно данного семейства -алгебр если для любого событие

.

Пусть Г – произвольное множество, , т.е. момент первого попадания процесса во множество Г, (или +, если не принадлежит Г).

Если непрерывен слева, т.е.

– здесь t_r – множество рациональных точек отрезка , а т.к. , то и их счётное число объединений является элементом _t, т.е. событие _t – измеримо, т.е. – марковский момент.

Свойство сохранения субмартингальности. Пусть – марковский момент принимающий значения , тогда

.

Пусть – субмартингал относительно потока , тогда

Действительно,

В силу того, что – субмартингал, имеем

и так далее

Сложив эти неравенства, получим

Общий случай (случай непрерывности времени) можно получить по следующей схеме.

Пусть – множество рациональных точек отрезка , оно счётное, тогда