2. Якщо модель еволюції фінансового активу має властивість безарбітражності, то яке з тверджень є вірним:
Ответ:
а) знайдеться
міра
,
еквівалентна
мірі
така, що
;
3. Нехай - рішення рівняння
,
де
та
-
сталі.
Нехай
.
Знайти
чому
дорівнює наступний стохастичний
диференціал
.
Решение: Найдем сначала
Теперь ищем
Ответ:
Вариант 15.
1. Доказати незалежність прирощень пуасонівського процесу
Пусть – процесс Пуассона. Тогда Если , тогда – независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие экспоненциальное распределение с параметром , то есть
Для доказательства независимости приращений пуассоновского процесса необходимо доказать, что
или
(1)
Положим
очевидно, что плотностями распределений
суммы экспоненциально распределенных
величин будут соответственно:
Докажем справедливость равенства (1).
Что и требовалось доказать.
2. Стохастичний інтеграл Іто є інтегралом:
Ответ: г) інше.
3. Довести, що , якщо - стандартний вінерівський процес.
Решение:
Так как
где
распределенная величина, то
.
Для
подсчёта четвёртого момента воспользуемся
характеристической функцией
,
так как мы имеем нормальное N(0;1) распределение. По свойствам характеристических функций:
(у
нас
и
).
То есть, действительно,
Вариант 16.
1. Доказати властивість Бакстера.
Свойство
Бакстера. Если
,
т.е.
,
то
Доказательство.
Действительно
то, показав, что
мы тем самым покажем, что и вся величина
стремится
по вероятности к
Докажем, что
Предварительно покажем, что
Действительно, так как
,
из
того что
где
распределенная величина.
Для подсчёта четвёртого момента воспользуемся характеристической функцией
так как мы имеем нормальное N(0;1) распределение. По свойствам характеристических функций:
(у
нас
и
).
То есть, действительно,
Из
этого соотношения в силу теоремы А. Н.
Колмогорова (для непрерывности с
вероятностью 1 процесса
достаточно, если найдутся
такие, что
)
в частности следует, что процесс
– непрерывный с вероятностью 1. Далее
Таким образом бакстеровское свойство установлено.
2. У сумах Іто значення інтегруємої функції береться:
Ответ: а) у лівому кінці інтервалу;
3. Довести формулу дифференціювання добутку двох випадкових процессів:
де
,
,
а
-
деякі сталі.
Решение: Для начала заметим, что
Теперь для функции , воспользуемся формулой Ито, учитывая что :
И тогда, получаем:
Вариант 17.
1. Сформулювати та доказати узагальнення узагальненої формули Іто.
Лемма 3.1. Если
где
– одномерные случайные функции,
удовлетворяющие условиям: функции
являются
- измеримыми,
-функция
ограниченной вариации,
,
непрерывный мартингал
и пуассоновские меры
независимые между собой,
причём
то
(1)
Доказательство.
Действительно
пусть
– разбиение отрезка
,
Нетрудно проверить, что
(2)
Суммируя 2) имеем
Переходя
к пределу при
получим
(3)
где
Далее нетрудно заметить, что
Так как
то
Таким образом
или
(4)
Из (3) и (4) получаем (1).
В частности
где
Тогда
или
(5)
Tеорема
3.6 (обобщение
обобщённой формулы Ито). Если
- дважды непрерывно дифференцируемая
функция переменной
и
(6)
то
Доказательство.
Пусть
,
методом математической индукции докажем:
(7)
При
из (7) имеем (6), то есть для
равенство (7) выполняется. При
также верно (5), то есть равенство (7)
выполняется.
Пусть
равенство (7) верно для
,
докажем справедливость (7) для
В силу формулы (4) имеем
(8)
В силу формулы (1) и (8) имеем
значит формула (7) доказана.
Далее, так как любая дважды непрерывно дифференцируемая функция может быть приближена последовательностью полиномов, сходящихся к , то теорему можно считать доказанной.