2. Прирощення стандартного вінерівського процесу розподілені за:

Ответ: в) нормальним законом з параметрами ;

3. Нехай – послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин з та . Показати, що послідовність є мартингалом відносно фільтрації , породженої послідовністю .

Решение: Из определения мартингала, следует, что для начала нужно проверить интегрируемость .

Следовательно – интегрируема.

Для того, чтобы проверить, что является -измеримой, достаточно заметить, что так как последовательность для каждого является -измеримой, то и их сумма является также -измеримой.

Докажем теперь мартингальное свойство:

Следовательно - мартингал относительно фильтрации .

Вариант 12.

1. Описати конструктивне завдання вінеровського процессу.

Рассмотрим частицу, которая в начальный момент времени находится в нулевой точке, а в момент времени t – в точке x. С вероятностью она поднимается или опускается на ( – величина каждого скачка). Всего частица делает n скачков. Введём следующие обозначения: – число скачков вверх; – число скачков вниз; – расстояние, на которое частица поднялась вверх; – расстояние, на которое частица опустилась вниз; – положение частицы в момент времени t.

Выражения в скобках независимы так как скачки независимы.

Воспользуемся теоремой Муавра-Лапласа:

,

где , означает сходимость по распределению, то есть слабую сходимость.

В частном случае при имеем: , ,

Определим числовые характеристики процесса

Нетрудно заметить, что

тогда

Введем обозначение , тогда .

В силу независимости приращений: . Такое свойство выполняется для линейных функций, значит – является линейной, то есть представима в виде .

Определим параметры Так как и , а так как дисперсия – величина неотрицательная, то . Обозначим , тогда .

Если , тогда и называется стандартным винеровским процессом. Далее, из того, что получаем , откуда , а значит путь пропорционален не времени, а корню из него. В силу того, что

,

для стандартного процесса

Далее так как найдем распределение . Покажем, что величина имеет стандартное нормальное распределение. Действительно

То есть

следовательно, – нормально распределённая величина. Отсюда следует, что – распределена как , , и – также распределены как , причём приращения и независимы.

Так как ранее мы уже показали, что – также распределена как , где . Пусть , следовательно, по распределению эквивалентно , а эквивалентно , то есть эквивалентно нормально N(0; ) распределенной величине.

Заметим, что эквивалентно , тогда

,

т.е производной не существует и винеровский процесс нигде не дифференцируем (это наглядно подтверждает его изломанная траектория).

2. Які величини входять у балансове рівняння задачі р.Мертона зі споживанням:

Ответ: а) ;

3. Знайти та , якщо .

Решение: Найдем используя свойства интеграла Ито:

Найдем :

Тогда

Получаем: