54. Үзіліссіз кездейсоқ шама. Ықтималдықтардың үлестірім заңдылығы және негізгі сандық сипаттамалар.

Х кездейсоқ шама дискретті болса оның үлестірім заңы кесте түрінде жазылады. Ал үзіліссіз кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндері шексіз болғандықтан ондай үлестірім заң жазылмайды. Сондықтан үлестірім функциясы ұғымын енгіземіз. А-ма. Х кездейсоқ шаманың х нақты саннан кіші мән қабылдау ықтималдығын кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы деп атайды және Ғ(х) деп белгілейді: F(х) = Р(Х < x). Кейде үлестірім функциясын «интегралдық функция» деп те атайды. Үлестірім функциясының қасиеттері: 1-қасиет. (анықтама бойынша үлестірім функциясы ықтималдық болып табылады). 2-қасиет. Үлестірім функциясы кемімейтін функция, яғни болса ( оқиғасы оқиғасын қамтиды). 3-қасиет. ( оқиғасы жалған оқиға болғандықтан , оқиғасы ақиқат оқиға болғандықтан ). 4-қасиет. . А-ма. Кездейсоқ шаманың үлестірім функциясынан алынған туынды кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы деп аталады және f(x) деп белгіленеді: Кейде үлестірім тығыздығын «дифференциалдық функция» деп те атайды. Дифференциалдық функция Х кездейсоқ шаманың мәндері тәжірибені қайталап жасағанда х нақты санының маңайында қаншалықты жиі пайда болатындығын көрсетеді. Дифференциалдық функция белгілі болғанда кездейсоқ шаманың үлестірім функциясын табу қиын емес: . Дифференциалдық функция қасиеттері: 1-қасиет. (кемімейтін функция туындысы теріс болмайды). 2-қасиет. ,себебі, .

3-қасиет. . Мысал. Х кездейсоқ шама үлестірім тығыздығымен берілген . Табу керек: 1) белгісіз а-ны; 2) ; 3) Интегралдық функцияны; 4) Дифференциалдық және интегралдық функция графиктерін салу. Шешуі. 1) Дифференциалдық функцияның қасиеті бойынша . Біздің жағдайымызда тығыздық үш интервалда және әр интервалда тығыздық түрлі формулалармен берілген, сондықтан:

. Сонда, осыдан . . 3) Интегралдық функцияны табайық. .4) Дифференциалдық және интегралдық функция графиктері суретте көрсетілген.

ҮЗІЛІССІЗ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАНЫҢ САНДЫҚ СИПАТТАМАЛАРЫ А-ма. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп оның х мәні мен үлестірім тығыздығы көбейтіндісінен алынған анықталған интегралы айтады . Мұндағы меншіксіз интегралды жинақталады деп қарастырамыз (егер жинақталмаса кездейсоқ шаманың математикалық үміті жоқ болады). Егер үзіліссіз кездейсоқ шаманың М(х) математикалық үміті бар болып, оның f(x) үлестірім тығыздығы жұп функция болса, онда М(х) = 0 болады. Жалпы, егер кездейсоқ шаманың f(x) үлестірім тығыздығы қандай да бір х=а нүктесіне қарағанда симметриялы болса, онда М(х) = а болады. А-ма. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп оның х мәнінің математикалық үміттен ауытқуының квадраты мен үлестірім тығыздығы көбейтіндісінен алынған анықталған интегралы айтады . Әдетте дисперсия оңай есептелiнетiн мынадай формула қолданылады:

Үзіліссіз кездейсоқ шама дисперсиясынан алынған квадрат түбiр орта квадраттық ауытқу болады: .

55. Биномдық және Пуассон үлестірімі

Егер Х кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері болып, ал осы мәндерді қабылдау ықтималдығы Бернулли формуласымен анықталса онда кездейсоқ шама биномдық үлестірім заңымен берілген деп аталады

орындалған. Шынымен бұл қосынды Ньютон биномы бойынша: Теорема. Биномдық үлестірім заңымен берілген X кездейсоқ шамасының математикалық күтімі , ал дисперсиясы тең 2. Пуассон үлестірімі. Егер Х кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері болып, ал осы мәндерді қабылдау ықтималдығы Пуассон формуласымен анықталса онда кездейсоқ шама Пуассон үлестірім заңымен берілген д.а

орындалған. Шынымен: Теорема. Пуассон үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен дисперсиясы мынаған тең 4. Көрсеткішті (экспоненциалды) үлестірім. Егер кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы арқылы берілсе, онда ол көрсеткіштік үлестірім заңымен берілген деп аталады. Үлестірім тығыздығы графигі 3-суреттегідей болады:

Теорема. Көрсеткішті үлестірілген кездейсоқ шааның үлестірім функциясы Үлестірім функциясы графигі 4-суретте берілген. Көрсеткіштік үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен дисперсиясы мынаған тең: