20. Шектің экономикалық қолданыстары

Экономикада көптеген шамалардың орташа мәндерін қарастырады. Мысалы, орташа шығын, орташа табыс, орташа пайда, т.с.с. Сонымен қатар, қандай да бір шаманы көбейткенде немесе азайтқанда нәтиже қаншалықты өзгеретіндігін білу үшін математиканың шектік талдау әдісін қолдану керек болады. Шектік талдау негізінде сіздерге мектептен таныс шек ұғымы жатыр.

Демография саласындағы адам жасының орташа ұзақтығын есептеу де шекке мысал бола алады. Айталық х жастағы адамның енді алдында жасайтын өмірінің орташа ұзақтығы е_х дейік. Әрине, жас балаға қарағанда 80 жастағы қарт адам үшін бұл орташа ұзақтық бірталай аз екенін түсіну қиын емес. Жас ұлғайған сайын алдымыздағы жастың ұзақтығы е_х әрине қысқарады. Бірақ, алдын ала е_х нолге тең болатын х-ті көрсету мүмкін емес. Олай болғанда адам сол жасқа келгенде бірден өлу керек болар еді. Сонымен е_х шамасы, х өскен сайын, біртіндеп нолге ұмтылады.

21. Функция үзіліссіздігі, қасиеттері. Үзіліс нүктелері. Бірінші және екінші текті үзілістер. функциясының жағдайда шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни ,функция нүктесінде үзіліссіз деп аталады.Егер

Үзіліссіз функция қасиеттері.

1) функциясы нүктесінде үзіліссіз, ал функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, күрделі функциясы нүктесінде үзіліссіз болады және .

2)Нүктеде үзіліссіз функциялардың алгебралық қосындысы, көбейтіндісі және қатынасы (бөліміндегі функция нолден өзге болғанда) үзіліссіз функция болады. функциясының жағдайда шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең болмаса, яғни , функция нүктесінде үзілісті функция деп, ал нүктені функцияның үзіліс нүктесі деп атайды. Функцияның нүктесінде өз-ара тең емес ақырлы біржақты шектері бар болса, нүктесі функцияның І-текті үзіліс нүктесі деп аталады. Кейде оны ақырлы секіріс деп атайды.Функцияның нүктесіндегі ақырлы біржақты шектердің ең болмағанда біреуі жоқ болса, нүктесі функцияның ІІ-текті үзіліс нүктесі деп аталады

22. Функция туындысы. Үзіліссіздік пен мен дифференциалданудың арасындағы байланыс. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі шегі функция туындысы деп аталады. Әдетте оны немесе деп белгілейді: Егер f(x) функцисы х₀ нүктеде дифференциалданса, онда функция х₀ нүктеде үзіліссіз болады.y=|x| функциясы x=0 нүктеде үзіліссіз. Бірақ оның x=0 нүктедегі туындысы болмайды. Шынында да, егер бар болса, туындыны мына формуламен табар едік: .Ал x=0 нүктеде болғандықтан қатынастың шегі болмайды. Шек болмаса туындысы да жоқ.

23. Дифференциалдау ережелері.Күрделі және кері функцияның туындысы. Дифференциалдау ережелері. u=u(x) және v=v(x) функциялардың әрқайсысы берілген нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функциялардың қосындысы(айырымы), көбейтіндісі және қатынасы (v(x) 0) сол нүктеде дифференциалданады, және мына формулалар дұрыс болады:

1)

2) ,C=const

3)

4) .

5)f(u(x)) күрделі функция туындысы: .6)y=f(x) функциясына кері функция (x=f ^{- 1}(y)) туындысы: .

7)Айқын емес түрде берілген функция, F(x,y)=0, туындысы:

8)Дәрежелі-көрсеткіштік функция туындысы. Алдымен берілген теңдеудің екі жағын логарифмдейік, . Екі жағынан туынды аламыз, .Сонымен, .

Функция дифференциалы

0<a 1

, 0<a