39. Бағыт бойынша туынды ж-е градиент

z= f(x, y) функциясы М(х,у) нүктесінің қандай да бір маңайында анықталған болсын және вектор бағытымен анықталатын қандай да бір l бағыт берілсін. Мұнда және бұрыштар векторының Ох және Оу осімен жасайтын бұрышы, ал - вектордың бағыттаушы косинустары деп аталады және

, .

М(х,у) нүктесі l бағыт бойымен қозғалып М₁(х+ х, у+ у) нүктеге өзгергенде z функция

z = f(х+ х, у+ у) - f(x, y)

өсімше алады. Егер ММ₁ = l болса, онда х= lcos , y= lcos , олай болса

=

f(х+ lcos , у+ lcos ) - f(x, y).

А

l

нықтама. z= f(x, y) функциясының l бағыт бойымен алған өсімшесінің l шамаға қатынасының осы шама нолге ұмтылғандағы шегі функцияның бағыт бойынша туындысы деп аталады, яғни

.

Функцияның бағыт бойынша туындысының абсолют шамасы функция өзгеруінің жылдамдығын анықтайды, ал таңбасы функция өзгерісін («+» - өсетінін, «-» - кемитінін) сипаттайды.

z= f(x, y) функциясының және дербес туындылары функцияның Ох және Оу остеріне параллель бағыт бойынша алынған туындылары болады.

Бағыт бойынша туынды анықтамасынан

cos + cos (7)

болатындығы шығады.

Егер l бағыт координаталарымен берілсе, яғни , онда бұл вектордың бағыттаушы косинустары былайша табылады:

cos = , cos = (8).

Анықтама. z= f(x, y) функциясының градиенті деп координаталары ( , ) болатын векторды айтады және grad z деп белгілейді,

grad z= ( , ) (9)

(7) формуланың оң жағында grad z= ( , ) векторы мен векторының скаляр көбейтіндісі тұр, олай болса бағыт бойынша туынды дегеніміз градиент пен бағытты анықтайтын бірлік вектордың скаляр көбейтіндісіне тең екен:

( grad z, ) (10)

Екі вектор бірдей бағытталғанда олардың скаляр көбейтіндісі ең үлкен мән қабылдайды. Олай болса grad z функцияның нүктедегі максималды жылдамдық (өсу) бағытын көрсетеді екен.

Мынадай тұжырым дұрыс болады: Қандай да бір М(х₀,у₀) нүктеде дифференциалданатын z= f(x, y) функциясының градиенті сол нүкте арқылы өтетін деңгейлік сызыққа перпендикуляр болады.

Мысал. функциясының А(-3; 2) нүктедегі градиенті мен векторы бағытындағы туындысын табу керек.

Шешуі. Алдымен дербес туындылар табамыз:

, .

Дербес туындылардың А нүктесіндегі мәнін есептейміз:

,

(9) формула бойынша функцияның А нүктесіндегі градиенті

grad z= табылды.

Енді осы нүктедегі бағыт бойынша туындыны табайық. (8) формула бойынша вектордың бағыттаушы косинустарды табамыз:

cos = , cos = .

(7) формула бойынша функцияның А нүктесіндегі векторы бағытындағы туындыны табылды

40. Екі айнымалыдан тәуелді функция экстремумы, қажетті және жеткілікті шарттары

Екі айнымалыдан тәуелді z= f(x, y) функциясын қарастырайық. М(х₀,у₀) нүктесі функцияның анықталу облысына тиісті нүкте болсын. А-ма. М(х₀,у₀) нүктенің жақын маңайында жатқан барлық (х, у) нүктелер үшін f(х₀,у₀) f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х₀,у₀) функцияның максимум нүктесі деп, ал f(х₀,у₀) f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х₀,у₀) функцияның минимум нүктесі деп аталады. Функция максимумы мен минимумы функция экстремумы деп аталады. Экстремумның қажетті шарты. М(х₀,у₀) нүктесі z= f(x, y) функциясының экстремум нүктесі болса, онда бұл нүктедегі функцияның дербес туындылары нолге тең, , . Экстремумның жеткілікті шарты. z= f(x, y) функциясы: 1) дербес туындылары нолге тең болатын , , М(х₀,у₀) нүктесінің маңайында анықталған болсын; 2) функцияның осы нүктеде екінші ретті үзіліссіз туындылары бар, , , . Онда, егер болса М(х₀,у₀) нүктеде экстремум бар, және егер A<0 – максимум, A>0 – минимум; ал болса М(х₀,у₀) нүктеде экстремум жоқ; болса М(х₀,у₀) нүктеде экстремумның бар жоқтығы белгісіз. Екі айнымалы функцияны экстремумға мынадай ретпен зерттеген жөн: 1. Функцияның және дербес туындыларын табу; 2. теңдеулер жүйесін шешіп, күдікті нүктелерді табу; 3. Функцияның екінші ретті дербес туындыларын тауып, экстремумның жеткілікті шарты бойынша экстремумның бар жоқтығын анықтау; 4. Функция экстремумдарын (экстремум нүктедегі) мәнін табу. ШАРТТЫ ЭКСТРЕМУМ. ЛАГРАНЖ ӘДІСІ Екі айнымалы функция экстремумын оның бүкіл анықталу облысында емес, тек берілген шартты қанағаттандыратын жиында қарастырайық. Айталық z= f(x, y) функциясының х және у аргументтері байланыс теңдеуі деп аталатын g(x,y) = 0 теңдеуін қанағатандырсын. А-ма. М(х₀,у₀) нүктенің жақын маңайында жатқан g(x,y) = 0 теңдеуін қанағатандыратын барлық (х, у) нүктелер үшін f(х₀,у₀) f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х₀,у₀) функцияның шартты максимум нүктесі деп, ал f(х₀,у₀) f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х₀,у₀) функцияның шартты минимум нүктесі деп аталады. Функцияның шартты экстремумын қарапайым жағдайларда бір айнымалы функция экстремумын табуға келтіреді. . Мынадай теорема дұрыс болады. Теорема. Егер (х₀,у₀) нүкте z= f(x, y) функциясының g(x,y) = 0 шартын қанағаттандыратын шартты экстремум нүктесі болса, онда қандай да бір табылады да, нүкте L(x, y, ) функциясының экстремум нүктесі болады. Сонымен, z= f(x, y) функциясының g(x,y) = 0 шартын қанағаттандыратын шартты экстремумын табу үшін мынадай жүйені шешу керек: Бұл жүйедегі соңғы теңдеу - байланыс теңдеуі. Ал бастапқы екі теңдеуді мынадай түрде жазуға болады: grad f = - grad g, яғни, шартты экстремум нүктесінде f(x, y) және g(x,y) функцияларының градиенттері коллинеар болады. .

41. Дифференциалдық теңдеулер. Коши есебі

.Анықтама. Дифференциалды теңдеу деп х тәуелсіз айнымалы, у(х) ізделінді функция және оның түрлі ретті туындыларын өз ара байланыстыратын теңдеуді айтамыз. Дифференциалды теңдеу ретi деп теңдеудегі туындының жоғары ретін айтамыз.Мысалы, xy'+y=0, - бірінші ретті дифференциалды теңдеулер; - екінші ретті дифференциалды теңдеу; - үшінші ретті дифференциалды теңдеу. Бірінші ретті дифференциалды теңдеуді қарастырайық, . Егер осы теңдеу функция туындысына қатысты шешіліп тұрса деп жазылады. Дифференциалды теңдеудегі орнына қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын, дифференциалданатын y=q(x,С) функциясын теңдеудің жалпы шешімі деп айтамыз . Мысалы, xy'+y=0 теңдеудің жалпы шешімі болады. Шынында да, осы функция теңдеуді тепе-теңдікке айналдырады, .Дифференциалды теңдеудің жалпы шешімінен қандай да бір нақты С=С₀ мәнінде алынатын шешім теңдеудің дербес шешімі деп аталады. Анықтама. теңдеудің берілген бастапқы у(х₀)=у₀ шартты қанағаттандыратын шешімін табуды Коши есебі дейді. Дифференциалды теңдеудің шешімін табу процесін теңдеуді интегралдау дейді.

42. Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер. Мысалдар.

Егер (2) теңдеу мынадай түрде жазылатын болса, ол айнымалысы ажыратылатын дифференциалды теңдеу деп аталады. Бұл теңдеуді шешу үшін теңдеудің екі жағын көбейткішке бөлеміз: Сонда dx алдында тек х-тен тәуелді, ал dy алдында тек у-тен тәуелді функция тұрады да, теңдеудің айнымалылары ажыратылады. Енді теңдеуді мүшелеп интегралдап шешімін табуға болады: .Мысалы, xy'+y=0 дифференциалды теңдеудің шешімін табайық. екенін ескеріп теңдеуді мына түрде жазайық Теңдеудің екі жағын ху көбейткішке бөліп айнымалысын ажыратамыз: . Мүшелеп интегралдасақ, lny+lnx=lnC, осыдан екендігі шығады.

43. Бірінші ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеулер. Мысалдар

. Егер теңдеу (2’) мынадай түрде y'= жазылатын болса, ол бiртектi дифференциалды теңдеу деп аталады. Бұл теңдеуді шешу үшін деген жаңа айнымалы енгіземіз. Осыдан , дифференциалдап, , (4) теңдеуге қоямыз: . екенін ескеріп теңдеуді мына түрде көшіріп жазсақ: .Айнымалысы ажыратылатын теңдеу аламыз. Теңдеудің екі жағын көбейткішке бөліп айнымалысын ажыратамыз, Біртекті дифференциалды теңдеу біртекті функция ұғымымен байланысты. функциясы k ретті біртекті функция деп аталады, егер кез-келген саны үшін мынадай теңдік орындалса: Мысалы, - екінші ретті біртекті функция, себебі .Ал - нолінші ретті біртекті функция, себебі дифференциалды теңдеудегі функция нолінші ретті біртекті функция болса, онда теңдеу (4) біртекті түрге келтіріледі.Мысалы, теңдеуді шешу керек. Шешуі. екенін ескеріп теңдеуді мына түрде жазайық: . Сонда - нолінші ретті біртекті функция болғандықтан ол біртекті түрге келеді: Шешу үшін деген жаңа айнымалы енгізіп, осыдан , дифференциалдап, , теңдеуге қоямыз: . екенін ескеріп теңдеуді мына түрде көшіріп жазсақ: . Айнымалысы ажыратылатын теңдеу аламыз. Теңдеудің екі жағын көбейткішке бөліп айнымалысын ажыратамыз, Мүшелеп интегралдасақ, , осыдан . Енді белгілеуді орнына қойсақ екендігі шығады. Алынған шешім болып тұрған функция айқын емес түрде алынды. Кейде оны дифференциалды теңдеудің жалпы интегралы деп те атайды