44. Бірінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер. Мысалдар.

Бiрiншi реттi дифференциалды теңдеу сызықты деп аталады, егер ол мынадай түрде жазылатын болса: y'+P(x)y=Q(x) Егер (5) теңдеудегі Q(x)=0 болса сызықты теңдеу біртекті деп аталады y'+P(x)y=0. Сызықты біртекті дифференциалды теңдеу шешімін айнымалыны алмастыру әдісімен бірден алуға болады: Сонымен, сызықты бiртектi дифференциалды теңдеудiң жалпы шешiмi мынадай: .Енді (5) теңдеуді шешумен айналысайық. Лагранж әдісі: Бұл әдіс (5) теңдеу шешімін сәйкес біртекті теңдеуінің шешімінен алады. Біртекті теңдеуінің шешіміндегі С шаманы х-тен тәуелді функция деп қарастырамыз С(х) функциясын табу үшін у және мәндерін (5) теңдеуге қоямыз. тауып алайық: ; екенін ескеріп, мынаны аламыз: .Мүшелеп интегралдап, белгісіз С(х) функцияны табамыз: С(х) функция мәнін (*) теңдеуге қойып сызықты дифференциалды теңдеу шешімін аламыз: Мысал. дифференциалды теңдеуді шешу керек.Шешуі. Теңдеудің екі жағын х-ке бөлсек, сызықты теңдеу аламыз: , мұнда P(x)= , Q(x)=2x³ . Теңдеудің шешімін табу үшін (7) формуланы қолданамыз. Сонымен, берілген сызықты теңдеу шешімі: .

46. Ықтималдықтың классикалық және статистикалық анықтамасы

Анықтама. Сынақ нәтижесінде орындалуы да орындалмауыда мүмкін болатын оқиғаны кездейсоқ оқиға дейміз. Кездейсоқ оқиғаларды латын алфавитінің А, В, С бас әріптерімен белгілейді А-ма. Сынақ нәтижесінде міндетті түрде болатын оқиға ақиқат оқиға деп, ал сынақ нәтижесінде ешқашан орын­далмайтын оқиға жалған оқиға д а. Әдетте ақиқат оқиғаны U, ал жалған оқиғаны V әріптерімен белгілеу қабылданған. А-ма. Кездейсоқ оқиғалардың бiреуiнiң пайда болуы басқасының пайда болуын жоққа шығарса олар өзара үйлесiмсiз деп аталады. Ал оқиғалардың бiреуiнiң пайда болуы басқасының пайда болуына әсер етпесе олар өзара үйлесiмдi деп аталады. Тәжірибе нәтижесінде пайда болатын барлық мүмкін оқиғалар элементар оқиғалар жиынын құрайды. Элементар оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз болса, олар оқиғалардың толық тобын құрайды дейді.А-ма. Тәжірибедегі ізделінді оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайларсанының, барлық элементар оқиғалар санына қатынасы оқиға ықтималдығы деп аталады және Р әрпімен белгілейді: м ұндағы А – ізделінді оқиға, т - осы оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны, п - элементар оқиғалар саны. Осы анықтаманы ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды. Ы-тың классикалық анықтамасынан мынадай қасиеттер шығады:1. Ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең: .Шынында да, ақиқат оқиға үшін m=n. Онда . 2. Жалған оқиға ықтималдығы бірге тең: . Шынында да, ақиқат оқиға үшін m=0. Онда . 3. Кездейсоқ оқиға ықтималдығы ноль мен бірдің арасында жататын нақты сан болад .Шынында да, кездейсоқ оқиға үшін 0<m<n. Теңсіздіктің екі жағын n-ге бөліпсек, аламыз, олай болса: .Осы үш қасиеттен кез келген оқиға үшін мына теңсіздік орындалатыны шығады: . Ы-тың классикалық анықтамасы оқиғалар саны шексіз болғанда қолданылмай қалады. Кейде оқиғалардың толық топ құратынын анықтау қиынға соғады. Сондай жағдайларда ықтималдықтың стаатистикалық анықтамасын қолданады. Тәуелсіз п рет тәжірибе жасадық дейік. Әр жолы ізделінді А оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болсын. Тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы т рет пайда болды дейік А-ма. Тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы пайда болған оқиғалар санының барлық тәжірибелер санына қатынасы оқиғаның салыстырмалы жиілігі деп аталады , мұндағы m - А оқиғасы пайда болған тәжірибелер саны, ал n - барлық тәжірибелер саны. Тәжрибелер саны артқан сайын оқиғаның салыстырмалы жиілігі қандай да бір тұрақты сан маңайына шоғырманған. Бұл заңдылық статистикалық тұрақтылық делінеді. Статистикалық тұрақтылыққа көз жеткізу үшін Ж.Бюффон және К.Пирсон деген ғалымдар теңгені көп рет лақтырып тәжірибе жасаған. Тәжірибе нәтижесі кестеде келтірілген:

Тәжірибелер саны артқан сайын елтаңба түсу саны 0,5 санына жақындайды екен. Ал елтаңбаның түсу ықтималдығы . Олай болса, салыстырмалы жиілік оқиға ықтималдығына жақындайды екен А-ма. Статистикалық тұрақтылық пайда болған кездегі салыстырмалы жиілік оқиға ықтималдығы деп қабылданады . Бұл анықтаманы ықтималдықтың статистикалық анықтамасы деп атайды.