10. Жордан бойынша өлшемді және өлшенбейтін жиындар

Шектеулі жиыны берілсін. Егер екі еселі интеграл бар болса, онда шектеулі жиынын Жордан бойынша өлшемді деп атайды. Сонымен, жиын Жордан бойынша өлшемді деп аталады екен, егер ол жиын бойынша функциясы интегралданса. саны жиынының Жордан өлшемі немесе ауданы деп аталады, сонымен бірге екені айқын.

формуланы

түрінде де жазуға болады, мұндағы л жиынының сипаттауыш функциясы деп аталады.

Ескерту. Жордан бойынша өлшенбейтін жиын бар. Оған бір мысал келтірейік. Айталық, координаттары рационал нүктелер болатын тіктөр­тбұрышының нүктелер жиыны болсын. жиыны Жордан бойынша өлшемді емес, өйткені арқылы анықталған функциясы тіктөртбұрышында интегралданбайды. Шынында да,

aйырымы бөлшектеуден тәуелсіз, сондықтан да оны Р бөлшектеуі көмегімен жеткілікті аз ете алмаймыз. Интегралдану критерийі бойынша функциясы А тіктөртбұрышында интегралданбайды.

11. Жордан өлшемінің нөлге тең болу критерийі

теорема. өлшемді жиынының Жордан өлшемі болуы үшін кез келген оң санына сәйкес жиынымен ортақ нүктелері бар бөліктеу төрт­бұ­рыштарының аудандарының қосындысы -нен кіші болатын А тіктөртбұры­шының Р бөліктеуінің табылуы қажетті және жеткілікті.

Сонымен, болады, сонда және тек сонда, егер кез келген үшін болатын А тіктөртбұрышының Р бөліктеуі табылғанда ғана. Енді осыны дәлелдейік. Қажеттілігі. Айталық болсын, онда бойынша ₍₁₎ Функцияның интегралдануының критерийі бойынша кез келген үшін ₍₂₎

теңсіздігін қанағаттандыратын А тіктөртбұрышының сондай Р бөліктеуі табылады. Жоғарғы, төменгі қосындылар қасиеттерінен, функциясының теріс еместі­гін және (1) теңдіктен

Демек, , ал (2) бойынша 1-салдар. Егер және болса, онда өлшемді және .

2-салдар. Өлшемдері нөл жиындардың саны ақырлы бірігуінің де өлшемі нөл жиын.

12. Шектеулі жиын өлшемді болу критерийі

жиынының барлық шекаралық нүктелер жиынын оның шекарасы деп атап, Г арқылы белгілейік. теорема. шектеулі жиын өлшемді болуы үшін оның шекарасының өлшемі болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеу. Қажеттілігі. Айталық өлшемді жиын болсын, яғни екі еселі интегралы бар. Екі айнымалы функцияның Риман бойынша интегралдану критерийінен кез келген саны үшін теңсіздігін қанағаттандыратын тіктөртбұрышының бөліктеуі табылады. Егер тіктөртбұрышы жиынына жататын және оған жатпайтын нүкте­лерден тұратын болса, онда Ал қалған жағдайларда Мұнан жиынының әрбір шекаралық нүктесі болатын ең болмағанда бір тіктөртбұрышында жатады. Сондықтан теңсіздіктен бөлшектеуінің жиыны шекарасымен ортақ нүктелері бар тіктөртбұрыштар аудандарының қосындысы -нен кіші екенін көреміз. Сонда, Жеткіліктігі. Айталық, болсын. Кез келген саны үшін шекарасымен ортақ нүктелері бар тіктөртбұрыштар аудан­дарының қосындысы -нен кіші болатын тіктөртбұрышының бөлектеуі табылады. бөлшектеуі үшін

(1) қосындысын қарастырайық. болатын әрбір тіктөртбұрышы жиы­нының ең болмағанда бір шекаралық нүктесін ұстайтынын көрсетуге болады. Ал қалған тіктөртбұрыштар үшін . Сондықтан (1) қосынды шека­ра­сымен ортақ нүктесі бар тіктөртбұрыштар аудандарының қосындысы. Өзіміздің құруымыз бойынша бұл қосынды -нен кіші. Сонымен,

функциясы А тіктөртбұрышында интеграл­данады. Ал бұл жиынының өлшемді екенін көрсетеді. Теорема дәлелденді.Осы теореманың көмегімен және жиындары өлшемді болса, онда олардың бірігуі , қиылысуы , және айырымы жиындарының да өлшемді болатынын дәлелдеуге болады. 2-теорема. Егер және ортақ нүктелері жоқ, яғни жиын болса, онда