38. Екінші текті беттік интег.Екі еселі интег.Келтіру

1-теорема. Егер жатық немесе құрама-жатық беті z=z(x,y) теңдеуі арқылы берілген (мұнда беттің жоғарғы жағы алынады) және R(x,y,z) осы бетте шектеулі функция болса, онда (1)

және беттік интеграл бар, егер екі еселі интеграл бар болса, мұнда D арқылы бетінің xy жазықтығындағы проекциясы белгіленген. Дәлелдеуі. Екінші текті беттік интеграл анықтамасы мен 5-ші параграфтың 1-теоремасынан шығады. Шынында да, беттік интегралды түрінде жазып, оған = формуланы қолдансақ, (1) теңдікті аламыз. Теорема дәлелденді. 2-теорема. Егер жатық немесе құрама-жатық беті r=r(u,v) арқылы берілсе және (P,Q,R) вектор-функциясы бетінде анықталған және шектеулі болса, онда

әрі беттік интеграл бар,егер оң жағындағы екі еселі интеграл бар болса, мұнда D арқылы u және v параметрлерінің өзгеру аймағы, ал және арқылы бетінің бірінші квадраттық формасының еселеуіштері белгіленген.

Дәлелдеуі. Тікелей 2-теоремадан (§5) шығады, егер беттік интегралы

Түрінде жазып, = қолданса болғаны. Теорема дәлелденді.

39. Остроградский формуласы.

Айталық, D-тұйық жәй xoy жазықтығында жатқан L контурының іші болсын, . R кеңістігінде тұйық аймақ V={(x,y,z):z (x,y) z z (x,y), (x,y) } (z (x,y) z(x,y),(x,y) D) қарастырайық. Тұйық V аймағы және беттері мен жасаушы­лары L контурының нүктелері арқылы өтетін OZ өсіне параллель цилиндрлік бүйір бетімен қоршалған деп ұйғарамыз. Мұндай аймақты oxy жазықтығы арқылы қарапайым аймақ деп атаймыз. Дәл осылай oyz, ozx жазықтықтары арқылы да қарапайым аймақтарды анықтауға болады. Егер V аймағын әр жазықтық бойынша қарапайым аймақтарға жіктеу мүмкін болса, онда оны жай ғана қысқаша қарапайым аймақ деп атайтын боламыз. бетін сыртқы бірлік нормаль векторлары арқылы, яғни n=(cos(n,x), cos(n,y), cos(n,z)) векторы арқылы бағыттаймыз, демек, бетінің сыртқы жағын қарастырамыз.

теорема. Егер V-қарапайым аймақ, яғни барлық координаттық жазық­тықтар арқылы қарапайым аймақ, ал P, Q, R функциялары өздерінің туындыларымен бірге осы V тұйық аймағында үзіліссіз болса, онда Остроградский формуласы деп аталатын

(1)

формула орынды. Дәлелдеуі. V аймағында анықталған және z бойынша туындысы осы аймақта үзіліссіз R(x,y,z) функциясы үшін жүргіземіз. Егер

айқын теңдеуін, V кеңістік аймағының (x,y) жазықтығындағы проекциясы D аймағы бойынша интегралдасақ, онда

(2)

Оң жақтағы интегралдардың біріншісін z=z (x,y) бетінің жоғарғы жағы бойынша R(x,y,z) функциясынан алынған беттік интеграл түрінде жазуға болады: Дәл осылай оң жақтағы екінші интегралды R(x,y,z) функциясынан бетінің жоғарғы жағы бойынша алынған беттік интеграл немесе кері таңбамен алынған бетінің төменгі жағы бойынша алынған беттік интеграл түрінде жазуға болады:

Сонда (3)

мұнда оң жақтағы интегралдардың біріншісі бетінің жоғарғы жағы бойынша, ал екіншісі бетінің төменгі жағы бойынша алынған (3) формуланың оң жағына нөлге тең бүйір беттің сыртқы жағы бойынша алынған интегралын қоссақ (өйткені бұл бетте ), V аймағын қоршайтын бетінің сырты бойынша алынған интегралға келеміз. Сонымен, (4) Бұл теңдік саны ақырлы координаттық жазықтықтар арқылы қарапайым болатын кез келген V аймағы үшін де орынды. Шынында да, V-ны бөлік­терге бөліп, олардың әрқайсысы үшін (4) теңдікті жазып, қосындыласақ, онда сол жағында V аймағы бойынша алынған үш еселі интегралды, ал оң жағында бөліктері бойынша екі рет алынған интегралдар қосындысынан тұрады және ол интегралдар бір рет беттің бір жағы бойынша, ал екінші рет екінші жағы бойынша алынады да, оларды қосындылағанда бірін бірі жояды. Сонымен біз

(5) теңдігін аламыз. Дәл осылай , (6) теңдіктерін де дәлелдейміз. (5) және (6) теңдіктерін қосып,

(7) Остроградский формуласын аламыз. Теорема дәлелденді.