31. Беттің жанама жазықтығы жане нормалі.

r=r(u(t),v(t)) тендеу арқылы анықталған қисықтың жанамасын қарастырайық оның бағыты

Векторыарқылыанықталады,яғниолкоординаттықвекторлардепаталатынберілгеннүктеарқылыөтетінкоординаттықсызықтарғажанама векто­рыныңкөшені. Олардықысқаша (1) арқылыбелгілейміз.

Біз регулярлықжатықбеттердіқарастырамыз. Егер (1) векторлар G аймағыныңкезкелгеннүктесіндесызықтықтәуелсізболса, яғникезкелген үшін Матрицасының рангі 2-ге тең болса, онда бет регулярлық деп аталады. Мысалы,

болса, онда регулярлық беттің әрбір нүктесінде нормаль бар, өйткені векторлары жанама жазықтықта жатады, ал - оған нормаль вектор.

Жанама жазықтықтың теңдеуі (ρ-r,n)=0 (2) арқылы анықталады, мұндағы r – жанаунүктесінің радиусы, ал ρ – жанамажазықтық нүктесінің радиус-векторы. Егер бет теңдеуі z=f(x,y) арқылы берілсе,онда оның векторлық түрін былай жазуға болады. Енді осындай бетке жанама жазықтық теңдеуін жазайық. Ол үшін координаттық векторларын және (3) нормаль векторын табамыз да, (2) жанама жазықтық теңдеуіндегі -r орнына i(x-x₀)+j(y-y₀)+k(z-z₀), ал нормаль векторының орнына (3) өрнекті қойып, z=f(x,y) бетін (x₀,y₀,z₀) нүктесінде жанайтын z-z₀=f_x^’(x-x₀)+f_y^’(y-y₀) (4) жанама жазықтық теңдеуін аламыз, мұндағы дербес туындыларының мәндері (x₀,y₀) жанау нүктесінде алынады.

32. Бет бойындағы ұзындықты, бұрышты есептеу Әрбір жазықтықта коллинеар емес екі және векторлары (оларды, әдетте, репер деп атайды) координаттар жүйесін анықтайды және осы жазық­тықта кез-келген векторын былай түрінде өрнектеуге болады. Ал мұның квадраты Енді белгілеулерін енгізіп, оны

²= g₁₁₁²+2 g₁₂₁₂+ g₂₂₂² (1) түрінде жазамыз. Сонда векторының ұзындығы   тікелей (1) формуладан шығады. Егер

екі векторы берілсе, онда Сонда cos( , )= формуласын пайдаланып, r және  векторларының арасындағы бұрышты олардың координаттары мен еселеуіштері арқылы өрнектеуге болады. Егер қисық бетінің бойында берілген болса, онда оның ұзынды­ғының формуласы да реперлеріне сәйкес g₁₁, g₁₂, g₂₂ еселеуіштеріарқылы есептеледі. Шынында да, бұл қисық бойынан параметр үшін доға ұзындығын алып, оның теңдеуін түрінде жазуға болады. Ал векторының ұзындығы бірге тең болғандықтан .

Енді бұған қойсақ, онда .Егер белгілеулерін енгізсек, (14) Бұл өрнек және өрнектері арқылы оң анықталған шаршылық тұлға. Мұны бетінің бірінші шаршылық тұлғасы деп атайды. Сонымен, беттің бірінші шаршылық тұлғасы доғаның шексіз аз элементі ұзындығының өрнектеуін береді. Мұнан бетте жатқан ақырлы қисық ұзын­дығын интегралдау арқылы табамыз, яғни егер бетте қисық u = u(t), v = v(t), t₁ ≤ t ≤ t₂ теңдеулері арқылы берілсе, онда оның ұзындығы

Екі қиылысатын қисықтар арасындағы бұрыш деп оларға қиылысу нүктесінде жүргізілген жанамалар арасындағы бұрышты айтады. Сонда екі қисық арасындағы бұрыш формуласынан анықталады.