18. Ауданды қисық сызықты координаттар арқылы есептеу.

D құрама жатық Г қисығымен қоршалған тұйық аймақ, ал осы D аймағында берілген үзіліссіз немесе өлшемі нөлге тең жиында үзілісті, бірақ шектеулі функция болсын. Сонымен бірге ,

функциялары белгілі бір G аймағын аймағына көшіретін шарттарды қанағаттандыратын бейнелеу болсын. Мақсатымыз D аймағы арқылы алынған интегралын интеграл астындағы өрнекті жаңа айнымалыларына түрлен­діріп, G аймағы бойынша алынған интеграл түрінде өрнектеу.теорема. Егер , функциялары G аймағын D айма­ғына көшіретін якобианы нөлден өзгеше өзара бірмәнді , үзіліссіз және үзіліссіз дифференциалданатын бейнелеу болса, онда

Дәлелдеуі. D аймағынан екі пар шексіз жақын жатқан координаттық сызықтарын алып, бұлардың біреуіне ξ координатасының және

мәндерін, ал екіншісіне координатасының және мәндерін сәйкес қоялық.

Бұл координаттық сызықтар D аймағынан аздық реті бірден жоғары дәлдікке дейін параллелограм болатын ауданның шексіз аз элементін қияды.Бұл параллелограмның қабырғалары

векторлары. паралелограмның ds ауданы , векторларының компоненттерінен түзілген анықтауыш абсолют шамасына тең, яғни ds= Ал D аймағының ауданы барлық осындай элементтерді қосындылаудан шығады, яғни, шынында да, және айнымалылары өзгеретін G аймағы арқылы алынған қос интегралы түрінде өрнектеледі

19. Екі еселі интегралда айнымалыларды ауыстыру.

1. Аймақтарды бейнелеу. Декарттық координаттары x, y және болатын екі жазықтықты қарастырайық және xy жазықтығында шекарасы Г тұйық шектеулі D аймағын, ал ξ,ŋ жазықтығында шекарасы тұйық шектеулі G аймағын алайық.

Бүкіл G аймағын (ξ,ŋ) нүктесі басып өткенде оған сәйкес (x, y) нүктесі бүкіл D аймағын басып өтетін G аймағында

₍₁₎ функциялары анықталған деп ұйғарамыз, яғни (1) функциялары G аймағын аймағына бейнелеуді анықтайды.Сонымен бірге бұл бейнелеу мына шарттарды қанағаттандырады деп ұйғарамыз: 1) Бейнелеу өзара бір мәнді, яғни G аймағының әр түрлі нүктелеріне міндетті түрде D аймағының әр түрлі нүктелері сәйкес келеді. Басқаша айтқанда, теңдеулердің бүкіл D аймағында бірмәнді анықталған ξ және ŋ арқылы шешімдері ξ=ξ(x,y), ŋ=ŋ(x,y) (2) бар.

2)(1) (2) функциялар үзіліссіз және олардың бірінші ретті үзіліссіз туындылары бар.

3) Функциялық анықтауыш (якобиан)

(3) бүкіл G аймағында нөлден өзгеше, демек, бұл якобианға енетін дербес туын­дылар үзіліссіздігі ұйғарылғандықтан, G аймағында таңбасы тұрақты. (2) кері бейнелеу якобианы (3) якобианмен былай байланысқан. Сондықтан якобианы да еш жерде нөлге айналмайды.Егер G аймағында жатық немесе құрама-жатық ξ=ξ(t) = (t), қисығы берілсе, онда (1) бейнелеу оны жатық немесе құрама-жатық , қисығына көшіреді, өйткені егер туындылары бар және үзіліссіз болса, онда

, туындылары да бар және үзіліссіз әрі бұлардың екеуі де бірден бірдей нөлге айналмайды, тек туындыларының ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше болса болғаны (өйткені ).

Сонда мұның дербес жағдайы ретінде аймағының Л шекарасы D аймағының Г шекарасына көшеді.Бұл тұжырым айқын емес функциялар теориясынан шығады. Егер Г қисығының (x₀,y₀) нүктесіне D аймағының ішкі нүктесі сәйкес болса, онда , теңдіктерінен және шамалары пен айнымалы­ларының функциялары ретінде нүктесінің белгілі бір маңайында анықталған болар еді. Ал шекаралық (x₀,y₀) нүктесінің кез келген маңайында D аймағында жатпайтын да нүктелер бар, демек, G үшін ішкі нүкте болатын (ξ₀,ŋ₀) нүктесінің G жиынында жататын, бірақ D аймағына бейнеленбейтін маңайы табылады. Ал бұл шарттқа қайшы.

20. Бірінші текті қисықсызықты интеграл

Айталық, жазықтығы белгілі бір жатық немесе құрама-жатық қисық,ал осы қисықта берілген функция болсын. Осы қисық , нүктелері арқылы бөліктерге бөліктеуін қарастырып, әрбір доғасынан кез келген бір нүктесін алып, (1) қосындысын түзейік, мұнда арқылы доғасының ұзындығы белгіленген. Егер нөлге ұмтылғанда интегралдың белгілі бір ақырлы шекке ұмтылса,онда бұл шек функциясының қисығы бойынша бірінші текті қисық сызықты интегралы деп аталады және

(2) арқылы белгіленеді. Ескерту. Мұнда және айнымалылары тәуелсіз айнымалылары емес, қисығының бойында жату шартымен байланысқан нүктелер. Бірінші текті қисықсызықты интеграл ұғымының бір айнымалының функциясының анықталған интегралынан өзгешелігі жоқ дерлік және ерлік оған оңай келтіріледі. Шынында да, қисығынан параметр үшін бастапқы нүктесінен есептелетін доға ұзындығын алып, бұл қисықты (3)

теңдеулері арқылы жазсақ, қисығында берілген функциясы айны­малысының ( , функциясына көшеді. Сонда нүктесіне сәйкес параметрінің мәнін арқылы белгілеп, (1) интегралдық қосындыны (4) түрінде жазсақ, ол анықталған интегралына сәйкес интегралдық қосынды.Ал (1) және (4) тең болғандықтан оларға сәйкес интегралдар да тең, яғни (5)

Бұл екі интегралдың бар болуы да, бар болмауы да бірдей. Сондықтан функциясы қисығы бойында үзіліссіз болса, онда (2) қисықсызықты интеграл бар.

21. Параметрлік түрде берілген қисыққы берілген функ. 1-ші текті қисық сызықты интег. теорема. Егер AB теңдеулері арқылы берілген жатық қисық, ал осы қисықта берілген функция болса, онда (1) теңдігі орындалады әрі мұның сол жағындағы қисықсызықты интеграл бар сонда және тек сонда, егер оның оң жағындағы анықталған интеграл бар болса. Мысалы, егер AB қисығы теңдеуі арқылы берілсе, онда (1) формула

түрінде жазылады. Ескерту. Бірінші текті қисықсызықты интегралдың екі айнымалы үшін анықталған анықтамасы сөзбесөз кеңістіктік қисық бойында берілген функция үшін де көшіріледі: егер AB қисығы параметрлік теңдеулері арқылы берілсе, онда осы қисық арқылы алынған бірінші текті қисықсызықты интеграл

формуласы арқылы анықталған интегралға келтіріледі

22. Екінші текті қисықсызықты интеграл және оның бірінші текті қисықсызықты интегралмен байланысы Айталық, жазықтықтың жатық қисығы, ал осы қисық бойында анықталған вектор-функция болсын. Бұл қисықты координат­тары болатын нүктелері арқылы бөліктерге бөлейік те қосындысын түзейік, мұндағы . Егер доғалары ұзындықтарының максимумы нөлге ұмтылғанда (1) қосынды ақырлы бір шекке ұмтылса, онда бұл шекті F=(P,Q) вектор-функциясының AB қисығы бойынша екінші текті қисықсызықты интегралы деп атайды да (2) арқылы белгілейді.Екінші текті қисықсызықты интеграл бірінші текті қисықсызықты интегралға оңай келтірілетінін мына теоремадан көреміз: теорема. Егер AB жатық қисығы ₍₃₎теңдеуі арқылы берілген, ал F=(P,Q) вектор-функциясы осы қисықта анықтал­ған және шектеулі болса, онда (4) теңдігі орындалады. Мұнда арқылы AB қисығына М нүктесінде жүргізілген жанама менхосінің оң бағыты арасындағы бұрыш белгіленген. Сонымен бірге, екінші текті қисықсызықты интеграл бар, егер оң жағындағы бірінші текті қисықсызықты интеграл бар болса. Дәлелдеу. Ең алдымен теңдігін дәлелдейік. интегралы анықтама бойынша түріндегі қосындының шегі. Осы қосындыны AB қисығының дәл сол бөліктеуінде интегралына сәйкес интегралдық қосындысымен салыстырамыз.Егер x=x(s) болса, онда АВ қисығының әрбір М нүктесінде

= (M), демек, =

Eнді бұған орта мән туралы теореманы қолдансақ = ) мұнда арқылы доғасының белгілі бір нүктесін белгіледік.Сонда Жатық қисық бойында үзіліссіз, ал қисық тұйық шектеулі жиын болғандықтан бұл функция бірқалыпты үзіліссіз.Демек,кезкелген 0 саны үшін АВқисығының жеткілікті майда бөліктері үшін Сонда мұндағы C=sup арқылы АВ қисығының ұзындығы белгіленген.Мұнан ) интегралдық қосындысының шегі бар болса,онда ) қосындысының да сол шекке ұмтылатынын көреміз.Теорема дәлелденді

23. Параметрлік қисықты берілген функциялық 2-ші текті қисықсызықты интегралы. Егер АВ қисығы x= параметрлік теңдеулері арқылы берілсе және А нүктесі үшін t= ,ал В нүктесі үшін мәндері сәйкес болса,онда екінші текті қисықсызықты интегралды

теңдігі арқылы анықталған интегралға келтіреді. P өрнегі векторының АВ қисығына жүр­гізілген жанамаға проекциясы болғандықтан оны арқылы белгілеп, дәл жазық жағдайдағыдай қисықсызықты интегралды ds

түрінде де жазады.

24. Грин формуласы . теорема. Егер шекарасы Г болатын Д жәй тұйық аймағында P(x,y),Q(x,y)функциялары мен олардың дербес туындылары үзіліссіз болса,онда Грин формуласы деп аталатын (1) формуласы орынды. Дәлелдеу.Төменнен және жоғарыдан сәйкес y= ,y= (2)құрама жатық қисықтарымен,ал сол және оң жақтарынан x=a,x=b (3) түзулерімен қоршалған қарапайым Д аймағы үшін жүргізейік.Бұл аймақтың АВСДА шекарасын оң бағытталған деп есептейміз,яғни оның бойымен жылжығанда суретте көрсетілгендей Д аймағы сол жақта қалып отыратындай бағыт алынған. Енді екі еселі интегралын қисықсызықты интегралға түрлен­дірейік.Ол үшін оны қайталанбалы интегралға келтірейік:

(4) Бұлардың әрқайсысын қисық сызықты интеграл деп қарастыруға болады: , Әрқайсысы нөлге тең болатын және екі қисықсызықты интегралдарын оң жағына қоссақ, онда (5)теңдігін аламыз. Енді х және у рөлдерін ауыстырып, горизонталь кесінді­лерімен және қисықтарымен қоршалған аймағын алып және ол аймақ бойынша алынған екі еселі интегралын түрінде жазып, (5)теңдікті дәлелдегендей есептеулер жүргізіп, ₍₇₎

теңдігін аламыз. Шынында да, шекарасы Г болатын Д аймағы әрқайсысында теңдіктері орындалатын , (шекаралары ) бөліктерге бөлінсін. Бұларды қосындылап, сол жағынан Д аймағы бойынша алынған екі еселі интегралды, ал оң жағынан Гi контурлары арқылы алынған қисық сызықты интегралдар қосындысын аламыз. Бұл контурлардың әрқайсысы Д аймағын қоршайтын қисықтардан және Д аймағын бөліктейтін қосымша сызықтардан тұрады. Бірақ, бұл қосымша сызықтардың әрқайсысы Гi құрамына дәл екі рет кіреді; Демек, олардың әрқайсысы арқылы қисықсызықты интеграл екі рет алынады және қарама-қарсы бағытта , сондықтан да түріндегі интегралдарды

қосындылауда қосымша сызықтар арқылы алынған интегралдар өзара нольге тең болады да, тек Д аймағының шекарасы арқылы алынған интегралдар ғана қалады, яғни біз (8) теңдігін аламыз, мұндағы Г Д аймағының оң бағытталған шекарасы.

Сонымен қарапайым аймақ үшін, дәлелдеуіміз бойынша,(8) формулалар орынды. Енді оларды бірінен бірін шегеріп Грин формуласын аламыз.

27-28. Интегралдың интегралдау жолынан тәуелсіз болу критерий.

Диф.тұлғаның толық диф.болу критерий.

Д аймағында дифференциалданатын F(x,y) функциясы берілсін. Онда h , h айнымалыларының (1) сызықтық функциясы анықталған. Анықталу аймағы Д , ал мәндер жиыны R² жазықтығында анықталған барлық мүмкін (2)

сызықтық функциялары болатын сәйкестікті дифференциалдық тұлға деп атайды. Сондықтан Д аймағында дифференциалдық тұлғаны анықтау үшін А_1, А₂сандары берілу керек, оларды әдетте, сәйкес деп белгілейді. Сонымен,егер Д аймағында P және Q функциялары берілсе, онда Д жиынында анықталған (3)сәйкестігін

дифференциалдық тұлға деп айтамыз, кейде қысқаша «тұлға» деп те айтатын боламыз. Енді дифференциалдық тұлғаның «толық дифференциалы» болуы және қисық сызықты интегралдық интегралдау жолынан тәуелсіз болуы үшін қандай шарттардың орындалуы қажетті және жеткілікті екені мына теоремадан шығады.теорема.Егер Д шектеулі бір байланысты аймағында анықталған үзіліссіз P(x,y), функцияларының дербес туындылары осы аймақта үзіліссіз болса, онда төмендегі төрт шарттың біреуінің орындалуынан қалған үшеуінің орындалуы шығады, яғни олардың әрқайсысы қалғандарының орындалуы үшін қажетті және жеткілікті шарттар болады. 1. Д аймағында жатқан тұйық қисық үшін интегралы нөльге тең. 2. Д аймағының кез келген АВ қисығы бойымен алынған инте­гралының мәні АВ интегралдау жолынан тәуелсіз. 3. дифференциалдық тұлғасы Д аймағында анықталған бел­гілі бір мәнінде функцияның толық дифференциалы. 4. Д аймағында (4)

Дәлелдеу үшін 1-шарттан екінші шарттың, ал одан 3-ші шарттың шыға­тынын көрсетіп, сонан соң үшінші шарттан соңғы төртінші, ең соңында бұдан бірінші шарттың шығатынын көрсетсек болғаны. І. 1-шарттан екінші шарттың шығуын дәлелдейік. Д аймағынан А және В нүктелерін қосатын екі кез келген ANB, AMB жолдарын алып, AMBNA тұйық жолын түзейік(бірінші сурет) 1-шарт бойынша ,Бірақ

. Демек, , яғни 2-ші шарттың орындалуы шығатыны дәлелденді. ІІ. 2-ші шарттың орындалуынан үшінші шарттың орындалуы шығатынын көрсетейік. Айталық, Д аймағының кез келген АВ қисығы бойынша алынған қисық сызықты интеграл болса, онда дифферен­циалдық форманың D аймағында анықталған белгілі бір функцияның толық дифферен­циалы екенін көрсетейік. Егер нүктесін D аймағының бекітілген нуктесі деп, ал В(х,у) осы аймақтын кез келген нүктесі десек (екінші сурет), онда Pdx+Qdy интегралының В аймағында U(х,у) бір мәнді функциясын анық­тайтынын, яғни екенін, дәлірек айтсақ , бұл функцияның дифференциалданатынын және екенін көрсету керек. Ол үшін дербес туындыларының бар және сәйкес P(х,у),Q(х,у) функцияларына тең екенін көрсету жеткілікті,өйткені үзіліссіз дербес туындылары бар функция дифференциалданады. Сонымен туындысын есептейміз. Мұның U=U(х+ х)-U(х,у) шамасы (х,у) және (х+ х,у) нүктелерін жалғастыратын жол бойынша =Pdx+Qdy тұлғасынан алынған интегралға тең, ал ол интегралдау жолынан тәуелсіз болғандықтан, бұл жолды ОХ осіне параллель кесінді деп алуға болады. Сондықтан U(х+ х,у)-U(х,у)= + . Мұның бірінші және соңғы интегралдары АВ бойымен, ал ортасындағы интегралы ОХ осіне параллель кесінді бойымен алынады. Демек, Енді орта мән теоремасын пайдаланған бұл формуладан шекке көшіп, екенін аламыз, себебіP(х,у)–үзіліссіз. Дәл осылай теңдігі де дәлелденеді. Сөйтіп 2-шарттан 3-шарттың шығатынын дәлелдедік. III. 3-шарттан 4-шарттың тууы. Егер белгілі бір U(х,у) функциясының толық дифференциалы болса, яғни онда

, ал аралас туынды туралы теорема бойынша , демек, 3-шарттан 4-шарттың шығатыны шықты.

IV. Ең соңғы қадам: 4-шарттың орындалуынан 1-шарттың шығатынын дәлелдейік. Айталық, орындалған деп, Д аймағының γ тұйық контурын алайық. Ұйғаруымыз бойынша Д аймағы бір байланысты, сондықтан γ кон­турымен қоршалған жазықтық бөлігі Д аймағында жатады және ол аймақта P,Q функциялары мен олардың туындылары анықталған. Демек, қисық сызықты интегралы Грин формуласын бойынша γ контурымен қоршалған G аймағы арқылы алынған екі еселі интегралға түрлендіруге болады: = . Ал (4) шарт бойынша мұның оң жағы нөлге тең. Сондықтан Д аймағында жатқан кез келген тұйықγ контуры үшін =0. Теорема дәлелденеді.

30. Бет,бет бойындағы қисық. Егер жазықтығының D ашық жиынында берілген функция­сының бірінші ретті дербес туындылары үзіліссіз болса, онда R³ кеңістігінің осы функция арқылы сипатталатын жиыны жатық бет деп аталады. Біз функциясын да, жиынын да бет деп, дәлірек, беті, S беті деп айта беретін боламыз. Егер теңдеуін қарастырсақ, онда біз беттердің кең класын аламыз. Бет анықтамасын координаттары немесе теңдеу­лерді қанағаттандыратын нүктелер жиыны ретінде қарастыру соншалықты ыңғайлы емес, сондықтан бетті параметрлік теңдеулер арқылы берген қолайлы, uv жазықтығының G жиынының R³ евклид кеңістігіне (1) үзіліссіз бейнелеуі бет деп аталады. теңдеу арқылы берілген бет теңдеуінің u,v параметрлерін жаңа t параметрден тәуелді десек, яғни u=u(t), v=v(t) болса, онда t-нің әрбір мәніне беттің белгілі бір нүктесі сәйкес келеді де ол белгілі бір қисықты анықтайды. Сонымен, қисық бойында u, v координаталары t параметрінің функциялары болады: u=u(t), v=v(t) (2) Бұл теңдеулер бетте берілген қисық тендеулері деп аталады. Оларды бет теңдеулеріне қойсақ, бет бойындағы қисықтың r=r(u(t),v(t)) (3) параметрлік теңдеуін