3.2. Составление уравнений [1—5]

Основные уравнения получают путем объединения следующих физических законов:

1) сохранения массы;

2) сохранения моментов;

3) сохранения энергии (первый закон термодинамики);

4) уравнения движения—закон Дарси;

5) уравнения состояния.

Как показано в предыдущем разделе, основные уравнения с учетом необходимых граничных и начальных условий образуют математическую модель системы. Для использования такой модели необходимо определить значения независимых 'параметров, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям и граничным условиям. Решать уравнения можно с помощью аналитических или численных методов. Первые не используются вследствие того, что основные уравнения нелинейны и на сегодняшний день не существует аналитических методов их решения. Для решения этих уравнений более приемлемы численные методы.

Порядок составления уравнений

1. Выбирается элемент системы (рис. 3.4). 2, Описываются все потоки флюидов, входящие и выходящие из элемента, за определенный промежуток времени с учетом правила знаков (рис. 3.5).

3. Количество втекающего и вытекающего флюида приравниваются к количественным изменениям массы внутри системы за это время, т. е. обеспечивается сохранение массы.

4. Переходим к пределу, когда элементарный объем стягивается к бесконечно малому размеру:

н получаем необходимое дифференциальное уравнение.

Порядок составления уравнений модели показан на рис. 3.6. Ц

фильтрация однофазного флюида

Уравнение однофазной фильтрации флюида в пористой сре- де образуется путем объединения:

1) уравнения сохранения массы;

2) уравнения движения;

3) уравнения состояния.

У равнение сохранения массы. Рассмотрим элемент пласта, через который 'протекает однородный флюид (рис. 3.7).

При этом для любого момента

входящая масса - выходящая масса = накопленной массе,

Разделим уравнение (3.1) на Ах, Аг/, Д-г, в результате получим

П ерейдя к пределу при одновременном стремлении Лх и М к нулю, получим уравнение неразрывности для одномерной системы:

А налогично для других координат:

Для трехмерной системы

Уравнение движения. Закон Дарен описывает зависимость скорости фильтрации флюида от градиента давления.

Подставляя уравнение (3.7) в (3.3), получим

Уравнение состояния. В этом уравнении необходимо выразить плотность в виде функции давлений. В большинстве пластовых систем жидкости рассматриваются как слабо сжимаемые. В таком случае уравнение состояния имеет вид