3.2. Фазовое пространство и фазовая плоскость

В общем случае нелинейную систему можно описать системой нелинейных дифференциальных уравнений в нормальной форме:

, (3.18)

где x_i – координаты состояния системы; g(t) – задающее воздействие.

Для систем с постоянными параметрами при отсутствии задающего воздействия и не нулевых начальных условиях уравнение (3.18) перепишем в виде

. (3.19)

В пространстве координат x₁, … , x_n можно представить графически решение в виде некоторой кривой, называемой фазовой траекторией. Для системы второго порядка фазовые траектории располагаются на плоскости, что позволяет получать некоторые оценки свойств системы по виду траектории. Для системы второго порядка:

(3.20)

можно исключить время и тогда

. (3.21)

Точки равновесного состояния системы определяются нулевыми значениями скорости dx₁/dt = dx₂/dt = 0, что соответствует

(3.22)

Точки равновесного состояния системы называются особыми точками на фазовой траектории. При переходе от области одной особой точки к области другой особой точки может существенно меняться поведение системы, что требует глубокого анализа нелинейной системы в зоне особых точек. В окрестности особых точек можно построить значительное число фазовых траекторий, семейство которых называют фазовым портретом.

Типовые фазовые портреты нелинейных систем в окрестности особых точек можно определить на основе фазовых портретов нелинейных систем.

П усть имеем линейную систему второго порядка:

(3.23)

Решение этих уравнений имеет вид:

(3.24)

и, исключив t из решения, имеем:

. (3.25)

Особая точка для этой системы:

. (3.26)

Если знаки корней совпадают, то фазовые траектории имеют вид парабол рис. 3.11.

х₂

х₂

х₁

х₁

а)

б)

а) б)

Рис. 3.11. Фазовые траектории для случаю вещественных корней

одного знака: а) λ₁ < 0, λ₂ < 0; б) λ₁ > 0, λ₂ > 0

Если знаки корней различны, то (λ₂/ λ₁) < 1, и фазовые траектории имеют вид гипербол (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Фазовые траектории для случая вещественных корней разного знака

Если корни комплексные

, (3.27)

то фазовые траектории в зависимости от знака при коэффициенте α имеют следующий вид (рис. 3.13).

а)

б)

Рис. 3.13. Фазовые траектории при комплексных корнях: а) α < 0; б) α > 0.

Если корни чисто мнимые

, (3.28)

то

. (3.29)

Возведем в квадрат x₁ и x₂ и, сложив полученные уравнения, найдем:

. (3.30)

Фазовые траектории, соответствующие данному уравнению, имеют вид эллипсов (рис. 3.14).

Приведенные фазовые портреты получили следующие названия: узел (рис. 3.11), седло (рис. 3.12), фокус (рис. 3.13), центр (рис. 3.14). Фазовые портреты узел и фокус подразделяются на устойчивые, если траектории стремятся к особой точке, и на не устойчивые, если траектории уходят от особой точки.

Рис. 3.14. Фазовые траектории для системы с мнимыми корнями