3.3. Устойчивость нелинейных систем

3.3.1. Устойчивость на основе функций Ляпунова

Устойчивость понимается в смысле определения Ляпунова, которое связано с концепциями возмущенного и невозмущенного движения. Некоторое определенное движение нелинейной системы, описываемой дифференциальными уравнениями вида:

(3.45)

(3.46)

(3.47)

где ξ(t) и φ(t) – скалярные функции соответственно сигналов обратной связи и внешнего сигнала, x  вектор переменных состояния, называется невозмущенным движением. Ему соответствует определенное частное решение x’(t) системы, отвечающее начальным условиям и называемое возмущенным.

Обозначим s(t) = x(t) x’(t)

Невозмущенное движение устойчиво по Ляпунову, если по любому ε > 0 можно найти такое v, что при ^T <  при любом t > t₀ будет выполняться неравенство x^Tx < ε.

Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и для данного t₀ существует такое положительное число δ  v, что если ^T < δ, то x(t)  0 при t .

Впервые исследование устойчивости невозмущенного движения системы (3.45)(3.47) при g(t) = 0 выполнено в 1944 г. Лурье и Постниковым для однозначной нелинейности, которая удовлетворяет следующим условиям:

, . (3.48)

На плоскости s, x кривая x = j(s, t) лежит в секторе, образованном прямой x = ks и осью s, причем она может иметь общие точки со сторонами сектора или совпадать с одной из этих сторон (рис. 3.15).

 = k

Рис. 3.15. Характеристика нелинейности

Система уравнений (3.45), (3.46) и (3.47) при g(t) = 0 абсолютно устойчива в секторе [0, k], если при любой функции j(s, t), удовлетворяющей условию (3.48), нулевое решение этой системы асимптотически устойчиво в целом. Это означает, что нулевое решение асимптотически устойчиво по Ляпунову и областью притяжения точки x = 0 является все фазовое пространство.

Определение абсолютной устойчивости относится к классу систем со знаковыми линейными частями, но разными нелинейными звеньями с характеристиками, удовлетворяющими условию (3.48). Наиболее общим методом изучения устойчивости нелинейных систем является метод функции Ляпунова, состоящий в подборе положительно определенной функции V(x), производная которой , вычисленная вдоль исследуемой системы, отрицательна. Если такая функция V(x) существует, то система устойчива.

Лурье и Постниковым была предложена функция, удовлетворяющая требованиям к функции Ляпунова для данного класса нелинейности.

, (3.49)

где R = R^T – положительно определенная матрица; q – действительное число.

Если нелинейность не стационарная, то полагаем q = 0. Дифференцируя V(x) по времени с учетом (3.45)–(3.47) получим, функцию

. (3.50)

Для установления не положительности квадратичной формы от n + 1 переменной в (3.50) при условии неотрицательности формы x(c^Tx  k^1x) используем новую переменную

(3.51)

которую преобразуем в выражение

, (3.52)

где . (3.53)

Из уравнений (3.52), (3.53) видно, что S(x, x) положительно определена, если выполнены условия:

(3.54)

где L = L^T > 0, e > 0.

Система (3.54) называется системой допредельных уравнений Лурье. При c = 0 имеем предельные уравнения Лурье. Для абсолютной устойчивости системы (3.45)–(3.47) в секторе [0, k] достаточно, что бы при некотором e > 0 существовало решение системы (3.54) в виде действительной положительно определенной матрицы R = R^T действительного вектора  и действительного числа d.

Прямая проверка существования допустимого решения системы (3.54) является громоздкой алгебраической задачей, аналитическое решение которой в общем виде неизвестно.

3.3.2. Частотный критерий устойчивости

Первый частотный критерий устойчивости предложен В. М. Поповым в 1961 г. Он основан на методе интегральных оценок изучаемой системы на конечном интервале времени [0, T]. Пусть имеется описание линейной части системы в форме весовой g(t  l) и частотной передаточной W(j) функции.

Структурная схема системы представлена на рис. 3.16.

Рис. 3.16. Структурная схема линейной системы

Интегральное уравнение, соответствующее приведенной системе, имеет вид

. (3.55)

Попов использовал интегральную оценку

(3.56)

которая называется функционалом Попова.

В результате изучения характеристики (3.56) В. М. Попов предложил следующий критерий (теорему).

Для того чтобы нелинейная стационарная система (3.45)(3.47) была абсолютно устойчива в секторе [0, k], достаточно, чтобы существовало такое действительное число q, при котором для всех w ³ 0 выполнялось неравенство

(3.57)

Критерий (3.57) допускает удобную геометрическую интерпретацию. Если изменить масштаб на мнимой оси комплексной переменной, используя произведение

(3.58)

то неравенство (3.57) определяет полуплоскость, лежащую справа от прямой:

. (3.59)

Для проверки критерия Попова необходимо построить на комплексной плоскости годограф видоизмененной частотной характеристики

(3.60)

и отложить точку на отрицательной части вещественной оси, равную k^1. Eсли через точку –k^1 можно провести прямую, позволяющую годографу W₁(j) находиться целиком справа от нее, то система абсолютно устойчива (рис. 3.17).

ImW₁(j)

ReW₁(j)

k^1

Рис. 3.17. Геометрическое представление критерия Попова

Поскольку все полюса W(p) находятся в левой плоскости Res > 0, поэтому условие (3.57) эквивалентно

(3.61)

где D достаточно мало.

Для доказательства рассмотрим функционал Попова со связью (3.55) и производной от s(t), равной

. (3.62)

Подставив (3.55) и (3.62) в (3.56), запишем

(3.63)

где (3.64)

(3.65)

тогда

. (3.66)

Используя неравество Коши  Буняковского, запишем

. (3.67)

На основе формулы Парсевеля перепишем (3.65) в виде

. (3.68)

При достаточно малом положительном D с учетом (3.61) перепишем (3.68):

. (3.69)

Сравнивая (3.66), (3.67) и (3.69), имеем

, (3.70)

где .

Анализ последнего неравенства показывает, что

. (3.71)

Откуда ||x|| £ ¥.

Известна лемма о том, что если в линейной системе

(3.72)

и выполнены условия

, (3.73)

то . (3.74)

Таким образом, система, удовлетворяющая критерию Попова, обеспечивает выполнение абсолютной устойчивости.

3.3.3. Лемма Беллмана  Гренвилла и ее применение для анализа устойчивости

При исследовании устойчивости и ограниченности решений динамической системы часто удобно наложить некоторые ограничения, которые позволяют превратить интегральное уравнение в интегральное неравенство. Важное правило при работе с интегральными неравенствами, которые верны для нелинейных систем управления с обратной связью и линейной частью, дает следующая лемма.

Лемма (обобщенная лемма Беллмана  Гренвилла). Пусть V(t) и  действительные функции от t и W(t)  0, а C  действительная постоянная.

Если

, (3.75)

то

. (3.76)

Лемма легко доказывается.

Введем две функции X(t) и Z(t), такие, что

; (3.77)

(3.78)

Если неравенство (3.75) выполняется, то Z(t)  0. Более того, функция X(t) является непрерывной. Дифференцируя X(t) и используя уравнение (3.78), получим

. (3.79)

Уравнение (3.79) имеет такой вид, что может быть проинтегрировано

(3.80)

Так как Z(t)  0 и W(t)  0, то

. (3.81)

Но из определения X(t) следует, что X(0) = C.

Тогда при Z(t)  0 из уравнения (3.78) найдем

, (3.82)

что доказывает лемму.

При помощи этой леммы мы можем сразу же получить неравенство относительно одноконтурной нелинейной системы с обратной связью (рис. 3.18). Система задается следующими уравнениями:

(3.83)

r(t)

e(t)

u(t)

y(t)

g(t)

F [e(t), t]

Рис. 3.18. Схема системы управления для доказательства теоремы

Теорема. Рассмотрим систему, приведенную на рис. 3.18. Предположим, что:

1) для линейного элемента начальные условия выбраны так, что удовлетворяются следующие неравенства:

(3.84)

где константы;

2) для нелинейного элемента существует константа K, такая, что

для любого t, (3.85)

3) для входного сигнала существует константа C_r, такая, что

для любого t. (3.86)

Если выполнено неравенство

, (3.87)

то e(t)  0 при t  . Более того, реакция e(t) ограничена:

. (3.88)

Для доказательства теоремы примем соотношения (3.84)(3.86) к уравнению системы (3.83), тогда получим:

(3.89)

или

(3.90)

Применяя лемму, сразу приходим к уравнениям (3.88).

Теорема определяет относительно слабую границу, хотя и обеспечивает удобный способ для быстрой проверки устойчивости систем. Этот способ предпочтительнее по простоте, чем метод Попова, однако последний дает более точную границу устойчивости.