3.6.3. Косвенная оценка качества свободных процессов в нелинейных системах

Свободный процесс в нелинейных автоматических системах характеризует переход от некоторого начального состояния к устойчивому состоянию равновесия или устойчивому вынужденному режиму. Косвенной оценкой свободного процесса могут служить такие показатели качества, как мера быстродействия или степень устойчивости, а также интегральное квадратичное отклонение. Для нелинейных систем достаточно границ, внутри которых находятся эти оценки.

Принято считать, что степень устойчивости нелинейной системы не меньше ₀, если

(3.134)

Уравнение (3.134) – уравнение свободного процесса – означает, что свободный процесс (t) с ростом времени убывает быстрее затухающей экспоненты . Чтобы определить условия, при которых степень устойчивости не меньше ₀, умножим левую и правую часть уравнения на .

(3.135)

Вводя новые обозначения, перепишем уравнение

(3.136)

Если преобразование нелинейное абсолютно устойчиво, то

(3.137)

и быстродействие или степень устойчивости исходной нелинейной системы будет не меньше ₀. Параметр ₀ может служить оценкой длительности переходного процесса:

Умножение оригинала на экспоненциальный множитель сопровождается смещением оператора Лапласа р в изображении на величину ₀.

В связи с этим в условии абсолютной устойчивости для степени устойчивости ₀ вместо частотной характеристики используется смещенная частотная характеристика .

. (3.138)

Вместо неравенства (3.122) при оценке степени устойчивости можно пользоваться смещенной преобразованной характеристикой линейной системы

(3.139)

Для определения степени устойчивости некоторой системы нужно построить семейство характеристик при различных ₀. Степень устойчивости определяется той характеристикой, которая пересекает все прямые с различными наклонами , кроме одной, с которой она имеет одну или более точек касания.

3.7. Синтез непрерывных нелинейных систем автоматического управления

3.7.1. Синтез нелинейной системы с заданной степенью устойчивости

Структура нелинейной системы задана и включает регуляторы с типовым законом управления, например, пропорциональный регулятор. Необходимо определить коэффициент пропорциональности K_пр, при котором будет обеспечиваться степень устойчивости _жел.

Использовав неравенство (3.62), имеем:

Re[(1 + jq)W_л(K_пр, (j  _жел))] >  . (3.140)

Можно определить частоту ₀, при которой действительная часть минимальна, из условия:

W_л(K_пр, (j  _жел))] = 0. (3.141)

Подставив в выражение (3.140) частоту ₀, получаем неравенство относительно параметра регулятора K_пр, из которого находим искомый коэффициент.

Если используем более сложный типовой закон регулирования, то можно принять ряд численных значений, например, постоянной интегрирования или постоянной дифференцирования и для этих значений на основании (3.140), (3.141) найти соответствующие значения K_пр.

3.7.2 Синтез системы управления на основе метода обратных задач

Пусть в каждый момент времени необходимо знать состояния объекта n-го порядка с одним управляющим (u) и одной выходной величиной (x). Для этого должно быть известно n-фазовых координат и n1 производных, описываемых уравнениями:

;

;

; (3.142)

. . . . . . . . . .

Из приведенных переменных только скорость изменения x^(n1) или явно зависит от управляющего воздействия u(t).

Пусть необходимо задать движение объекта или, другими словами, задать желаемое изменение выходной переменной во времени. В этом случае в каждый момент времени для определенных координат скорости надо задавать их изменения. Но в каждый момент времени можно задавать только высшую производную регулируемой величины, которая напрямую связана с управлением. Задаваемое значение высшей производной должно соответствовать желаемому движению объекта управления в виде

, (3.143)

где g  задающее воздействие.

Из уравнения (3.143) можно выразить:

. (3.144)

Для желаемого движения системы можно потребовать выполнения условия:

. (3.145)

Откуда можно найти закон управления:

. (3.146)

Управление (3.146) найдено как функция текущих значений координат объекта производных и задания. Это позволяет определить структурную форму системы.

Рассмотрим пример управления химической реакцией в реакторе с перемешиванием. Динамическая модель объекта управления имеет вид

(3.147)

(3.148)

Желаемая динамика переходного процесса выбрана в виде линейного уравнения:

. (3.149)

Приравняв высшую производную желаемого дифференциального уравнения высшей производной нелинейной модели объекта, имеем модель системы управления:

. (3.150)

Из этой системы уравнений находим управляющее воздействие нелинейной системы:

3.7.3 Синтез систем управления с переменной структурой Задача синтеза в системах с разрывными управляющими воздействиями обычно сводится к выбору поверхностей в фазовом пространстве, на которых функции управления претерпевают разрывы. При выполнении определенных соотношений в таких системах может возникнуть специфичный вид движения, который называют скользящим режимом. Скользящий режим, например, может возникнуть, если в окрестности поверхности, на которой функция управления претерпевает разрывы, фазовые траектории направлены навстречу друг другу.

Любое смещение изображающей точки относительно поверхности скольжения всегда приводит к возвращению изображающей точки на поверхность разрыва и изображающая точка может лишь скользить по данной поверхности.

В реальных системах всегда присутствуют элементы запаздывания, гистерезиса и т. п., которые приводят к тому, что переключения управляющего воздействия будут происходить с конечной частотой, и с такой же частотой будет колебаться изображающая точка относительно поверхности разрыва. В ряде случаев именно во время движения в скользящем режиме реализуется оптимальное управление.

Высокие динамические показатели систем с переменной структурой удается получать на основе того, что система состоит из нескольких непрерывных подсистем, каждая из которых обеспечивает часть общей траектории системы. Составляющие подсистемы могут быть и неустойчивые, но это не ухудшает, а чаще улучшает свойство системы в целом.

Рассмотрим пример такой системы, движение которой описывается уравнениями:

. (3.151)

где x₁, x₂  координаты системы, u  функция управления.

Пусть закон описывается уравнением

u = x₁, (3.152)

где {, },  = const.

Пусть коэффициент  подобран таким образом, что при  > 0 фазовый портрет системы будет иметь вид типа фокус (рис. 3.28). Данный фазовый портрет соответствует линейной системе с комплексными корнями и положительной вещественной частью корней.

x₂

x₁

Рис. 3.28. Фазовый портрет одной из структур системы при  > 0

Пусть фазовый портрет второй структуры системы при  > 0 пусть будет иметь вид (рис. 3.29). Данный фазовый портрет соответствует линейной системе с одним положительным и вторым отрицательным корнями.

Структура системы меняется при нарушении следующего условия:

S = cx₁ + x₂ = 0 (c > 0, c – const). (3.153)

Коэффициент с выбираем таким образом, чтобы прямая S = 0 находилась между осью х и асимптотой гиперболических траекторий (рис. 3.29).

x₂

x₁

s = 0

Рис. 3.29. Фазовый портрет структуры системы при  > 0

На рис. 3.30 приведен фазовый портрет системы, когда закон изменения структуры имеет вид

(3.154)

x₁

x₂

s = 0

Рис. 3.30. Фазовый портрет системы с переменной структурой и скользящим режимом

Из фазового портрета следует, что изображающая точка из любого состояния попадает на плоскость переключения S.

Воспользовавшись соотношением

cx₁ + x₂ = 0,

получаем уравнение первого порядка:

,

которое является устойчивым и принимается в качестве уравнения скольжения. Таким образом, на основе двух неустойчивых структур получена система, обеспечивающая устойчивую работу.

В более общей постановке задачи рассмотрим динамическую систему с разрывным скалярным управлением:

(3.155)

где u изменяется на поверхности S(x) = 0 в виде

(3.156)

где u⁺(x, t), u^(x, t), S(x)  непрерывные функции.

Скользящий режим имеет смысл вводить в систему лишь в том случае, когда этот вид движения обладает желаемыми динамическими свойствами. Когда уравнение поверхности разрыва задается в пространстве произвольных координат, то из него не удается однозначно получить уравнения скользящего режима. Скользящий режим возникает, если на поверхности S(x) = 0 могут быть указаны области ненулевой меры, где проекции векторов f⁺ = f(x, t, u⁺) и f^ = f(x, t, u^) на нормаль имеют разные знаки и направлены навстречу друг другу. Условия возникновения скользящего режима имеют вид:

. (3.157)

Математическое описание скользящих движений в виде уравнений с разрывной правой частью требует доопределений.

Наиболее распространенным является доопределение разрывных уравнений, предложенное А. Ф. Филиповым:

. (3.158)

Уравнение скольжения для линейных систем произвольного порядка, у которых разрывное уравнение входит лишь в одно из уравнений движения;

, (3.159)

где вектор b имеет отличный от нуля лишь последний коэффициент.

Примем закон управления в виде

u = (3.160)

Плоскость переключения:

c_i  const, c_n. (3.161)

В этом случае последнее уравнение исходной модели системы исключается из рассмотрения, а в первые (n  1) уравнения подставляется решение уравнения S = 0 относительно x_n:

(i = 1, …, n  1). (3.162)

Данная линейная система принимается в качестве уравнений скольжения.

Рассмотрим случай системы, когда векторное управление входит линейно:

. (3.163)

Вектор управления u размерности m, каждая компонента которого имеет разрывы на поверхности, заданной уравнением:

S_i(x) = 0;

(3.164)

Пусть , (3.165)

тогда на основе (3.163), (3.165) имеем:

. (3.166)

Откуда находим

. (3.167)

Используя эквивалентное управление, получаем уравнение

, (3.168)

которое при начальных условиях S(x(0)) принимается в качестве уравнения идеального скольжения.

Для системы уравнения движения:

, (3.169)

где x  n-мерный вектор состояния с компонентами x₁, …, x_n; f и b  n-мерные векторы; u  скалярное управление.

Условия существования скользящего режима при переходе от скалярного случая имеет вид:

(3.170)

Из этих соотношений можно определить к какому классу принадлежат функции u⁺(x, t) и u^(x, t) Если правая часть в неравенствах ограничена, то управление можно выбрать релейным, равным одному из двух постоянных значений. Если правая часть неравенств зависит от x линейно, то управление по модулю должно быть линейной возрастающей функцией от ||x||.

3.7.4. Синтез нелинейной системы, обеспечивающей желаемый показатель колебательности

Рассматриваемый класс нелинейных систем содержит нечетно-симметричную одназначную нелинейность (), гармоническая линеаризация которой имеет вид

() = q(a)  

где коэффициент гармонической линеаризации принимает ограниченные значения:

0  q(a)  q_m или

q_n  q(a)  q_m. (3.171)

Структура нелинейной системы представлена на рис. 3.31.

Рис. 3.31. Структурная схема нелинейной системы

Можно переписать коэффициент гармонической линеаризации в виде

q(a) = kq₀(a), (3.172)

где k  коэффициент усиления.

Коэффициент k присоединяется к приведенной линейной части:

. (3.173)

Передаточная функция замкнутой системы

. (3.174)

Для данной структуры показатель колебательности

(3.175)

Уравнение равных значений M на комплексной площади U, V имеет вид:

(U – C)² + V² = R², (3.176)

где .

При определенном значении q₀ линии M = const получают вид окружностей.

Величина q₀ принимает значения в широком диапазоне, что изменяет координаты центра окружности С и радиуса R. В результате каждая линия M = const будет представлять огибающую постепенно меняющихся окружностей (рис. 3.32, а, б).

0  q  q_m

q_н  q  q_m

u

v

v

u

a)

б)

Рис. 3.32. Уравнения равных значений M

Для желаемого значения показателя М_жел, известной характеристики нелинейности и около устойчивого равновесного состояния системы в нулевой точке необходимо определить параметры настройки типового линейного регулятора, например, ПИД-регулятора:

W_P (k_пр, T_и, Т_д, j). (3.177)

По методике, аналогичной синтезу линейных систем, будем принимать ряд значений Т_и, Т_д и с их учетом подбирается коэффициент пропорциональности регулятора k_пр, который обеспечит касание амплитудно-фазавой характеристики {kW_P (k_пр, T_и, Т_д, j)W_об(j)}, огибающих.

3.7.5. Синтез нелинейных систем с использованием вынужденных вибраций

Нелинейная система имеет задающее воздействие f(t) и дополнительное периодическое воздействие f₁(t), частота которого существенно выше частоты задающего воздействия (рис. 3.33).

Рис. 3.33. Нелинейная система с двумя внешними воздействиями

Пусть воздействие f₁(t) является гармоническим:

f₁(t) = B sin t, (3.178)

а управление движения системы имеет вид:

Q(p) + R(p)() = S(p)f(t) + S₁(p)f₁(t) (3.179)

Решение будем искать в виде:

 = ⁰(t) + ^(t), (3.180)

где ⁰  медленная по сравнению с ^ функцией времени.

Будем считать, что за один период изменения ^ величина ⁰ остается неизменной и тогда гармоническая линеаризация нелинейности с учетом ⁰ имеет вид

(3.181)

где . (3.182)

Подставив (3.181) и (3.182) в уравнение (3.179), в полученном равенстве можно выделить две составляющие. Для медленных составляющих относительно задающего воздействия f(t) имеем

. (3.183)

Если, решив последнее уравнение (3.183) найти a(⁰) и подставить в выражение (3.181), то найдем новую нелинейную функцию:

(⁰) = ⁰(⁰, a(⁰)). (3.184)

Перепишем уравнение (3.181) для процесса управления:

Q(p)⁰ + R(p)(⁰) = S(p)f(t). (3.185)

Нелинейная функция (⁰) обладает свойством плавной кривой для всех нелинейностей (рис. 3.34).

(⁰)

⁰

k_н

Рис. 3.34. Нелинейная функция (⁰)

Исходя из вида кривой (рис. 3.34), ее можно линеаризовать:

 = k_н⁰ (3.186)

k_н . (3.187)

С учетом (3.187) уравнение процессов в системе относительно задающего воздействия принимает вид:

[Q(p) + k_нR(p)]⁰ = S(p)f(t). (3.188)

Процесс управления при наложенных на него вынужденных вибрациях исследуется по линейному закону управления (3.188).

С учетом полученной плавной зависимостей (⁰) прохождения медленного сигнала в процессе управления через любое нелинейное звено получило наименование вибрационного сглаживания.

При синтезе систем управления вибрационное сглаживание применяют следующим образом.

К входу нелинейного звена необходимо подвести внешнее вибрационное воздействие вида

f₁(t) = B sin t. (3.189)

Нелинейное звено, соединенное последовательно с линейным звеном W_д(j) охватывается отрицательной обратной связью. Полоса пропускания звена W_д(j) ниже частоты вибрационного воздействия. Окончательная структура системы включает еще регулятор W_р(p) и объект управления W_oб(p) (рис. 3.35).

Рис. 3.35. Система автоматического управления с вибрационным сглаживанием

Вынужденные вибрации локализуются во внутреннем контуре и не пропускаются через объект управления W_об. Сигнал на входе нелинейности имеет вид

 = ⁰ + ^ =   u + f₁, (3.190)

причем

⁰ =   u, ^ = B sin t. (3.191)

Отсюда следует, что амплитуда и фаза симметричных вынужденных вибраций переменной  равны, соответственно, В и нулю.

Таким образом, можно ликвидировать гистерезисную петлю или зону нечувствительности и получить для сигнала управления линейную характеристику с коэффициентом k_н.

Величину k_н можно регулировать амплитудой В внешнего воздействия. Так, для нелинейности типа зона нечувствительности [b, b] имеем коэффициент

В > b, (3.192)

где k – коэффициент усиления нелинейной зависимости, когда || > b.

Амплитуда В должна быть больше максимально возможного значения сигнала ⁰

Далее параметры регулятора можно рассчитывать рассмотренными ранее методами в зависимости от требований к качеству регулирования.