3.5. Статистическая линеаризация нелинейных характеристик стохастических систем автоматического управления

Для стохастических систем характерно наличие случайных сигналов.

Метод приближенной замены нелинейных характеристик эквивалентными в вероятностном смысле линейными зависимостями называется методом статической линеаризации. Метод разработан И. Е. Казаковым и Р. Бутоном в 1954 г.

Рассмотрим нелинейное звено, на вход которого поступает полезный сигнал с помехой (рис. 3.21).

На рис. 3.21, б кривая 1 показывает изменение полезного сигнала, который можно считать математическим ожиданием входного случайного сигнала m_σ(t), а кривая 2 соответствует изменению полного входного сигнала m_σ(t) + σ^ο(t). На рис. 3.21, в кривая 1 показывает изменение выходного сигнала нелинейного звена при отсутствии, кривая 2 соответствует полному выходному сигналу с учетом помехи, а кривая 3 – статическое среднее значение выходного сигнала. При малом уровне флуктуации сигнала кривая 3 мало отклоняется от кривой 1. При большом уровне флуктуации входного сигнала среднее значение выходного сигнала будет близко к нулю, так как выходной сигнал будет стохастически колебаться между крайними значениями.

В результате полезный сигнал практически не будет проходить через нелинейное звено. Можно сказать, что флуктуация подавляет полезный сигнал в нелинейном звене. Величина флуктуаций сигнала на выходе этого нелинейного звена также ограничивается.

При статической линеаризации необходимо с достаточной точностью определять полезный сигнал и уровень флуктуаций на выходе нелинейного звена.

2



1

d

d



0

1

a)

0

1

2



t

3

t



б)

в)

Рис. 3.21. Характеристики: а – нелинейного звена; б – входного сигнала;

в – выходного сигнала

Введем приближенную зависимость

ξ = φ₀ + k₁σ₀. (3.107)

Величина φ₀ соответствует статистическому выходному полезному сигналу нелинейного звена, а k₁σ₀ – уровню флуктуации выходного сигнала. Коэффициент k₁ представляет собой статистический коэффициент усиления нелинейного звена по случайной составляющей.

Для нелинейных звеньев, имеющих нечетные характеристики, функция φ₀ может быть представлена в форме

φ₀ = k₀m_σ, (3.108)

где k₀ – статистический коэффициент усиления нелинейного звена по математическому ожиданию.

Величину φ₀ и статистические коэффициенты усиления нелинейного звена k₀ и k₁ определяют из условия сохранения величины полезного сигнала и уровня флуктуаций на выходе нелинейного звена. Поскольку полезному сигналу соответствует его математическое ожидание, а уровню флуктуации – дисперсия выходного сигнала, то эти величины можно использовать для нахождения параметров уравнения (3.107)

Выходной сигнал исходного нелинейного звена статистически характеризуется математическим ожиданием m_ζ и дисперсией D_ζ. Можно приравнять между собой:

m_ξ = m_ζ, D_ξ = D_ζ. (3.109)

Поскольку модель (3.107) предполагается линейной, то на основании свойств математического ожидания и дисперсий можно записать:

m_ξ = φ₀, D_ξ = k₁²D_ς. (3.110)

На основании (3.108)–(3.110) находится коэффициент k₀:

k₀ = m_ξ/ m_σ (3.111)

и коэффициент k₁:

. (3.112)

Знак коэффициента k₁ определяется характером функции φ. Если функция φ(σ) возрастает около точки σ = m_σ, то следует взять k₁ > 0, и наоборот. Закон распределения выходного сигнала нелинейного звена искажается при статической линеаризации.

Поскольку нелинейные элементы в составе системы связаны с линейными, для которых законы преобразования определяются в основном корреляционными функциями, то можно допустить некоторое искажение дисперсии выходного сигнала с целью обеспечить лучше соответствие корреляционной функции.

С учетом этого положения можно использовать метод наименьших квадратов для определения параметров линеаризуемой функции:

M{(ζ  ξ)²} = min. (3.113)

Подставляя в (3.113) исходные функции переменных и используя свойства математических ожиданий, получим следующее условие:

Μ[ζ²] + φ₀² + k₁²D_σ  2φ₀m_ζ-2k₁[ζς⁰] = min. (3.114)

Приравняв к нулю частные производные этой функции по φ₀ и k₁, получаем:

φ₀ = m_ζ; (3.115)

k₁D_σ = Μ[ζς⁰]  0. (3.116)

Для вычисления величин k₀, k₁ и φ₀ по приведенным формулам необходимо знать плотность вероятности (, t) входной случайной функции σ(t) нелинейного звена. Формулы (3.110)–(3.116) принимают вид:

(3.117)

(3.118)

(3.119)

Используя формулы (3.117)–(3.119) можно определить составляющие линеаризованной модели для типовых нелинейностей при заданной одномерной плотности вероятности ρ(σ) входной случайной функции. При работе нелинейного элемента в составе замкнутой системы плотность вероятности заранее неизвестна. Однако изменение закона распределения ρ(σ) в широких пределах существенно не влияет на параметры модели, а с другой стороны, наличие в составе замкнутой системы инерционных линейных звеньев обеспечивается близость закона распределения к нормальному. Чем более инерционны линейные звенья, тем ближе закон распределения к нормальному. С учетом сказанного примем в формулах (3.117)–(3.119) закон распределения входной переменной вида

. (3.120)

В прил. 3 даны расчетные формулы для некоторых типовых нелинейностей при нормальном законе распределения.

Рассмотрим использование статистической линеаризации для исследования точности стационарных систем. Пусть нелинейная система приведена к виду, представленному на (рис. 3.22).

Рис. 3.22. Нелинейная стохастическая система

Применяя статистическую линеаризацию нелинейного звена, можно считать, что в зависимости от составляющей случайного сигнала σ коэффициент передачи линеаризованного звена будет k₀ или k₁. Тогда для полезной составляющей передаточная функция замкнутой системы

, (3.121)

а для флуктуации

. (3.122)

На основании формул (3.121) и (3.122) можно определить оценки точности системы (рис. 3.22), если известны математическое ожидание сигнала входа системы m_f и дисперсия D_f.

Принимая во внимание, что математическое ожидание стационарной входной переменной системы f(t) постоянно, получим:

, (3.123)

где коэффициент k₀ на самом деле является функцией искомых параметров системы m_σ и D_σ. Уравнение (3.123) может иметь решение, если только его дополнить уравнением для расчета D_σ. Для линейной системы дисперсия выходной переменной системы

, (3.124)

где S_f (ω) – известная спектральная функция входного сигнала системы.

Уравнения (3.123) и (3.124) позволяют определить математическое ожидание m_σ и дисперсию D_σ выходного сигнала системы. Решение уравнений (3.123), (3.124) может быть найдено приближенными методами, например, графическим методом.

При использовании графического метода заменим уравнение (3.123) следующей системой уравнений:

. (3.125)

В

1

координатных осях η, m_σ (рис. 3.23) первому уравнению системы (3.125) соответствует прямая 1, а второму – семейство кривых с параметром D_σ.

η

D_σ(5)

D_σ(4)

D_σ(3)

D_σ(2)

D_σ(1)

m_σ

m_σ(1)

m_σ(5)

Рис. 3.23. Семейство кривых η, m_σ для заданных D_σ(i)

На основании полученных соотношений m_σ(i), D_σ(i) строится новых график 1 (рис. 3.24). В тех же координатах m_σ, D_σ строим на основании уравнения (3.108) кривую 2.

D_σ

m_σ(1)

m_σ(5)

m_σ

1

2

Рис. 3.24. Графические зависимости m_σ, D_σ

Точка пересечения кривых 1 и 2 рис. 3.24 отвечает искомому решению m_σ и D_σ.

Аналогично решается задача определения математического ожидания и дисперсии выходной переменной стационарной системы при других способах включения нелинейного звена. Для этого достаточно принять за выходную переменную системы входной сигнал нелинейного звена и в соответствии с этим преобразовать структурные схемы исследуемых систем.

Рассмотренный метод применим к системам, работающим без автоколебаний, что требует дополнительно предварительного исследования нелинейных систем. Если в системе возможны устойчивые автоколебания, то для исследования ее точности применяют метод совместной статической и гармонической линеаризации.