4.13. Оценки качества свободных процессов

4.13.1. Мера быстродействия нелинейных импульсных систем

Будем говорить, что быстродействие или степень устойчивости нелинейной импульсной системы не меньше заданной если

(4.350)

Для оценки быстродействия, или степени устойчивости, умножим обе части уравнения свободного процесса (4.298) на . Тогда после очевидных преобразований получим

(4.351)

Вводя новые обозначения

(4.352)

запишем уравнение (4.351) в такой форме:

(4.353)

Это уравнение соответствует некой преобразованной нелинейной импульсной системе с нестационарной характеристикой нелинейного элемента и видоизмененной линейной импульсной частью, обладающей временной характеристикой . Оче­видно, если преобразованная система будет абсолютно устойчи­вой, т. е. если

(4.354)

то быстродействие исходной нелинейной импульсной системы будет не меньше Отсюда следует, что оценка быстродействия исходной системы сводится к установлению абсолютной устой­чивости преобразованной системы. Применим к последней общий критерий абсолютной устойчивости состояния равновесия, который, как мы отмечали уже выше, справедлив и для нестационарных характеристик. Найдем прежде всего частотную характеристику линейной импульсной части преобразованной системы. Так как, согласно обозначению (4.352),

(4.355)

то частотная характеристика, представляющая собой дискретное преобразование Фурье, будет равна

или с учетом (4.355),

(4.356)

Назовем смещенной частотной характеристикой. Тогда нелинейная импульсная система будет обладать быстродействием, не меньшим , если смещенная частотная характеристика будет удовлетворять круговому критерию абсолютной устойчивости. При этом если выполнены ограничения, налагаемые на статический коэффициент линеаризации (4.348), то речь идет об оценке скорости достижения состояния равновесия. Если же выполнены ограничения, налагаемые на дифференциальный коэффициент линеаризации (4.349), то тогда оценивается скорость установления процессов в нелинейной импульсной системе.

На рис. 4.37 приведены смещенные частотные характеристики , которых система обладает степенью устойчивости .

Рис. 4.37. Смещенные частотные характеристики линейной

импульсной части: а − устойчивой; б − неустойчивой.

4.13.2. Оценка суммарного квадратического отклонения

Суммарное квадратическое отклонение, вызываемое собственным процессом, определим как

(4.357)

или

(4.358)

если мы интересуемся суммарным квадратическим отклонением от состояния равновесия, или, наконец,

(4.359)

если мы интересуемся суммарным квадратическим отклонением от заданного процесса. Поскольку, согласно (4.298),

(4.360)

и, в частном случае, при становится равной

(4.361)

то мы рассмотрим наиболее общее выражение суммарного квадратического отклонения (4.359) оценки Точное значение для нелинейной импульсной системы определить невозможно, поэтому мы ограничимся оценкой . Для этой цели восполь­зуемся соотношением (4.318). При K= ∞ имеем

(4.362)

или, принимая во внимание неравенство (4.320),

(4.363)

Для получения наименьшей оценки выберем в (4.363)

(4.364)

или

где r_s  наибольшее значение коэффициента статической или дифференциальной линеаризации заданной характеристики нелинейного элемента или, при необходимости, семейства нелинейных характеристик. Тогда

(4.365)

Используя равенство Парсеваля

(4.366)

получаем из (4.365) вторую форму оценки:

(4.367)

Обозначим через

или

наименьшее значение коэффициента статической или дифференциальной линеаризации; тогда, поскольку

(4.368)

получим

(4.369)

и, значит,

(4.370)

т. е.

(4.371)

и

(4.372)

При x^в ≡ 0, а значит, и из (4.364), (4.365) и (4.366) получаем

(4.373)

и

(4.374)

а из (4.368) и (4.372)

(4.375)

Если

или

то

и в приведенных выше оценках следует заменить r_s на r_s – l, r_i на r_i – l, на на