4.6.1. Последовательное соединение звеньев импульсных систем

При рассмотрении дискретной системы с последовательным соединением звеньев необходимо внимательно подойти к нахождению передаточной функции всей системы. На рис. 4.16 показана дискретная система с последовательно соединенными звеньями W₁ и W₂. Два звена разделены квантователем S₂, который идентичен первому S₁ и синхронизирован с ним.

Рис. 4.16. Последовательное соединение элементов дискретной системы, разделенных квантователем

Рис. 4.17. Последовательное соединение элементов дискретной системы с квантователем на входе

Импульсная передаточная функция всей системы определяется следующим образом. Сигналы на выходе звеньев W₁ и W₂ (рис. 4.16):

(4.134)

(4.135)

Подстановка (4.134) в выражение (4.135) дает

(4.136)

Следовательно, импульсная передаточная функция двух линейных звеньев, разделенных квантователем, равна произведению импульсных передаточных функций этих звеньев.

Когда два звена соединены последовательно, но не разделены квантователем, как показано на рис. 4.17, импульсная передаточная функция всей системы должна быть записана в виде

(4.137)

Заметим, что в общем случае

(4.138)

Выход системы может быть определен как

(4.139)

Передаточные функции цифровых систем с обратной связью и с большим числом синхронизированных квантователей могут быть получены алгебраическими преобразованиями или методом сигнальных графов. Алгебраический метод громоздок и трудно реализуем, особенно в сложных случаях.

4.6.2. Импульсная передаточная функция фиксатора нулевого порядка и связь между w(s) и w(z)

Передаточная функция фиксатора нулевого порядка

z-преобразование

(4.140)

Этот результат очевиден, так как фиксатор нулевого порядка в течение периода квантования удерживает постоянным дискретный сигнал, полученный в результате выборки, и вычисление z-преобразования для передаточной функции фиксатора должно определять исходный квантованный сигнал. Однако в большинстве случаев на практике за фиксатором нулевого порядка следует непрерывная часть системы. Z-преобразование выходного сигнала системы в этом случае

(4.141)

где

(4.142)

Подставляя передаточную функцию (4.140) в последнее выражение, получим

(4.143)

В рассматриваемом случае z-преобразование числителя передаточной функции фиксатора можно вынести за скобки в соответствии с теоремой сдвига во временной области. Однако z-преобразование W(р)/р должно быть определено как для одного целого.

Теоретически при бесконечном возрастании частоты квантования импульсная система стремится к соответствующей непрерывной системе. Однако это не означает, что для заданного преобразования

(4.144)

следует

(4.145)

Так как z-преобразование основано на амплитудно-импульсной модуляции непрерывного сигнала с периодом квантования Т, то устремление Т к нулю лишено физического смысла. Другими словами, если сигнал r(t) квантуется идеальным квантователем и при этом образуется сигнал r*(t), то устремление периода квантования к нулю не обеспечивает совпадения r*(t) и r(t). Это объясняет, почему выражение (4.145) в общем случае не справедливо. Однако если дискретный сигнал r*(t) поступает на вход фиксатора нулевого порядка, выход которого есть h(t), то

(4.146)

или

(4.147)

Таким образом, смысл последних двух выражений заключается в том, что если непрерывный сигнал послан на устройство выборки и хранения, то выходной сигнал последнего совпадает с r(t) при устремлении периода квантования к нулю.

Пример использования пакета MatLab для перехода

от непрерывной модели к дискретной

Исходная передаточная функция

.

Пусть период квантования равен 1

скрипт программы:

.

Результат работы программы

.