4.7. Процессы между моментами квантования

Метод z-преобразования обладает достаточной точностью только применительно к системам, в которых сигналы слабо изменяются. Другими словами, метод z-преобразования эффективен только для систем, в которых сигналы могут быть адекватно представлены их выборками в моменты квантования.

Если метод z-преобразования не обеспечивает адекватного представления сигналов, необходимо определить реакцию системы между моментами квантования. В этом случае могут быть полезны метод дробного квантования и метод модифицированного z-преобразования, которые описаны ниже. Эти же методы используются в качестве основного математического аппарата при анализе цифровых систем с многократным квантованием и с переменным периодом квантования.

Рис. 4.18. Дискретная система:

а  с одним фиктивным квантователем; б  с двумя фиктивными квантователями для определения реакции между моментами квантования

Метод дробного квантования. На рис. 4.18, а показана структурная схема с фиктивным квантователем на выходе дискретной системы, анализируемой методом z-преобразования. Оба квантователя работают с основным периодом квантования и обозначены . Связь между входом и выходом системы определяется соотношением (4.132), где импульсная передаточная функция задана выражением (4.133). Чтобы найти значения сигналов между моментами квантования, введем в систему два дополнительных фиктивных квантователя , как показано на рис. 4.18, б. Период квантования равен , где – положительное целое число, большее единицы. Так как входным сигналом фиктивного квантователя на входе системы является последовательность импульсов с периодом Т секунд, а частота квантования в раз больше, чем , то введение фиктивных квантователей в исходную систему не изменяет ее характеристик.

Входной сигнал системы может быть записан в виде суммы импульсных передаточных функций

(4.148)

где – импульсная переходная функция системы. В любой момент квантования значение равно

(4.149)

Выход фиктивного квантователя запишем как

(4.150)

Вычисляя z-преобразование от обеих частей выражения (4.150), получим

(4.151)

Сравнение выражения (4.151) с формулой обычного z-преобразования показывает, что может быть получено непосредственно из заменой на и на , т. е.

(4.152)

Поставляя (4.151) и (4.152), получим

(4.153)

Положим , где  целое число, тогда выражение (4.153) принимает вид

(4.154)

Обозначая

(4.155)

запишем выражение (4.154) в виде

(4.156)

Приведенные преобразования позволяют сделать вывод, что реакция между регулярными моментами квантования может быть получена заменой z на Т в обычной импульсной передаточной функции системы. Необходимо подчеркнуть, что если в системе присутствует фиксатор нулевого порядка, на член передаточной функции замена и влияния не оказывает. Если содержит фиксатор нулевого порядка, т. е. то

Число требуемых дополнительных значений определяет значение N. В общем, если m  число дополнительных точек, то

N = m + 1.

Пусть в качестве примера дискретная система имеет передаточную функцию

Входной сигнал r(t) является единичной ступенчатой функцией. Период квантования равен 1 с. Требуется найти реакцию системы в моменты времени t = kT/3, k = 0, 1, 2, … .

Z-преобразование выхода системы в дробные моменты квантования запишем как

где

Следовательно,

Z-преобразование единичной ступенчатой функции . Тогда Z-преобразование выхода системы при дробном квантовании

.

Дробная степень в последнем выражении затрудняет дальнейший анализ, поэтому введем новую переменную

Тогда выражение Y(z) перепишем в виде

Раскладывая в ряд по степеням , получим

Коэффициенты разложения в ряд являются значениями при . Переходной процесс показан на рис. 4.20. Метод дробного z-преобразования показывает, что в данном случае обычное z-преобразование привело бы к неверному результату.

4.7.1. Метод модифицированного z-преобразования

Другим методом определения реакции дискретной системы между моментами квантования является метод модифицированного z-преобразования. Метод разработан как модификация обычного z-преобразования и предусматривает введение в дискретную систему фиктивной временной задержки.

Предположим, что требуется определить переходной процесс между моментами квантования для системы, показанной на рис. 4.20, а. Прежде всего, соединим выход системы с блоком фиктивной задержки. Затем смещенный во времени выход системы проквантуем, фиктивным квантователем (4.20, б). Фиктивное время задержки равно , где значение лежит в пределах . Фиктивные квантователи синхронизированы с входным квантователем и имеют такую же частоту. Поскольку сигнал остается неизменным, введение фиктивного квантователя не нарушает работу системы.

Рис. 4.19. Переходный процесс в дискретной системе

Рис. 4.20. Дискретная система управления:

a  разомкнутая; б  с фиктивной временной задержкой

Выходной сигнал фиктивного квантователя с временной задержкой имеет вид

(4.157)

Z-преобразование может быть выражено как

(4.158)

или

(4.159)

Свертка в последнем выражении:

(4.160)

Интеграл в выражении (4.160) может быть определен вдоль линии и полуокружности бесконечного радиуса, лежащей в левой или правой половине комплексной -плоскости. Интегрирование по замкнутому контуру даст корректный результат для интеграла (4.160), если интеграл вдоль одной из полуокружностей равен нулю.