4.5. Элементы теории z-преобразования

4.5.1. Определение z-преобразования

Z-преобразование является одним из математических методов, разработанных для анализа и проектирования дискретных систем. Аппарат z-преобразования играет для цифровых систем ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем. В последние годы при исследовании дискретных систем большое значение стал иметь метод пространства состояний, благодаря его многосторонности и общему подходу к задачам анализа и проектирования.

Мотивировку использования z-преобразования для изучения дискретных систем можно пояснить на примере преобразования Лапласа для квантованного сигнала. Пусть выходной сигнал идеального квантователя обозначен через . Преобразование Лапласа для определяется:

(4.59)

Выражение для не является рациональной функцией относительно , поскольку оно содержит множитель , не свойственный большинству передаточных функций непрерывных систем. Когда в передаточной функции появляется множитель , могут возникнуть трудности в вычислении обратного преобразования Лапласа. Следовательно, желательно сначала преобразовать ирррациональную функцию в рациональную, обозначаемую , посредством замены комплексной переменной на другую комплексную переменную z. Выбор такой замены очевиден:

(4.60)

хотя замена отвечает тем же требованиям. Решая уравнение (4.60) относительно р, получим

(4.61)

В двух последних уравнениях Т  период квантования; z  комплексная переменная, действительная и мнимая части которой определяются в виде:

(4.62)

(4.63)

где

(4.64)

Связь между р и z в уравнении (4.60) может быть определена как z-отображение. Подставляя (4.60) в выражение (4.59), получим

(4.65)

что при представлении в компактной форме является рациональной функцией относительно z. Следовательно, можно определить как zпреобразование функции , т. е.

= z-преобразование = , (4.66)

где z – оператор z-преобразования. Следуя выражениям (4.59) и (4.65), можно записать:

[преобразование Лапласа ] (4.67)

Поскольку z-преобразование получается из преобразования Лапласа для функции заменой , то, в общем, для любой функции , имеющей преобразование Лапласа, существует также z-преобразование.

Процедура нахождения z-преобразования непрерывной функции включает следующие три этапа:

1) определение как выходного сигнала идеального квантователя для входной функции ;

2) определение преобразования Лапласа :

3) замена на z в выражении , чтобы получить

(4.68)

Выражение (4.68) используют при нахождении z-преобразования функции . Однако неудобство этого выражения состоит в том, что оно является бесконечным рядом, а не эквивалентной функцией в компактной форме.

Альтернативное выражение для z-преобразования функции можно получить, если использовать ее изображение , заданное в виде (4.33). Заменяя на , получим

(4.69)

где

(4.70)

имеет конечное число простых полюсов. Если имеет кратные полюсы с кратностью соответственно, то z-преобразование запишем в виде

(4.71)

где

(4.72)