7.6. Использование уравнений моментов для идентификации параметров модели объекта

Представим исходную модель объекта управления в виде

; (7.55)

; (7.56)

. (7.57)

Пусть система автоматического управления относится к классу стохастических. Тогда, подставляя в тождество

уравнения (7.55, 7.57) и осуществляя переход к математическим ожиданиям, находим

(7.58)

Важное значение имеют уравнения для математических ожиданий самих координат

(7.59)

и уравнения вторых моментов:

. (7.60)

В матричной форме уравнение вторых моментов имеет вид

, (7.61)

где – квадратные матрицы и М = М^Т.

Для установления квазистационарного режима уравнение (7.61) принимает вид

, (7.62)

где величины u_i включают не только управление, но и шумы, и регулярные силы, в том числе и пробные воздействия. В скалярной форме уравнение (7.62) имеет вид

(7.63)

Для реальной системы можно воспользоваться усреднением в виде приближенных равенств:

(7.64)

где Т – заданная величина.

Заменяя в уравнениях (7.63) моменты на их приближенные значения (7.64), получаем уравнение

, (7.65)

которое можно использовать для определения коэффициентов объекта управления.

7.6. Алгоритм адаптации с использованием специальных объектов

Умножим приведенное выше матричное уравнение моментов слева и справа на обратную матрицу вторых моментов М^1. Принимая во внимание соотношение , получаем

. (7.66)

Обратим внимание на уравнение (6.69) для нахождения неизвестной матрицы закона оптимального управления с критерием обобщенной работы:

. (7.67)

Если обеспечить равенство

(7.68)

или M_ux + M_xu = MD, то соотношения (7.66) и (7.68) будут в определенном смысле эквивалентны.

Уравнения типа (7.66) будут справедливы и для матриц произведений мгновенных значений

, (7.69)

где

, , . (7.70)

Соотношение (7.70) при этом запишем

, (7.71)

или в скалярной форме

. (7.72)

Последнее уравнение имеет решение

. (7.73)

Это позволяет заключить, что если на объект воздействовать нелинейным управлением вида (7.73), то обратная матрица фазовых координат объекта как функция времени равна матрице коэффициентов оптимальных линейных управлений.

Управления (7.73) не являются оптимальными, не обеспечивают даже устойчивости при больших отклонениях. Поэтому управления (7.73) можно применять для модели объекта либо для реального объекта, но в течение короткого интервала времени. В последнем случае управления вида (7.73) должны чередоваться во времени с оптимальными управлениями.

Идентификация при полностью измеряемом векторе переменных состояния.

На основании априорных сведений считаем, что объект описывается в переменных состояния Х линейным матричным уравнением вида

, (7.74)

где U  вектор управления.

Введем в рассмотрение настраиваемую модель с управлением U(t) той же размерности, что и (7.74):

, (7.75)

где A_M(t), B_M(t)  матрицы настраиваемых параметров.

Введем ошибку e(t), равную X(t) = X_м(t). Вычитая уравнение (7.75) из уравнения (7.74), получаем

,

или

. (7.76)

Адаптация параметров матриц A_м и B_м должна обеспечить выполнение условий:

, , . (7.77)

Для выполнения условий (7.77) используем функцию Ляпунова вида

, (7.78)

где матрицы R, Г, L  позитивно-определённые матрицы.

Пусть полная производная (7.78) удовлетворяет условию

, (7.79)

где Q  позитивно-определённая матрица. Запишем производную от выражения (7.78):

. (7.80)

Использовав уравнение (7.76, 7.79), перепишем уравнение (7.80) в виде

(7.81)

Уравнение (7.81) выполняется при условии

; (7.82)

; (7.83)

. (7.84)

Заменяя (t) через A – A_м и (t) через B – B_м и считая, что на интервале адаптации элементы матриц A и B не изменяются, перепишем уравнения (7.83), (7.84) в виде

; (7.85)

, (7.86)

что соответствует при интегрировании искомому решению.