7.8. Оценивание параметров дискретных адаптивных систем

Оценивание параметров по ошибке уравнения.

Имеем устойчивый объект вида

(7.87)

где U  входной сигнал; у  выходной сигнал; A(0) =1, B(0)  0; z^1  оператор единичного запаздывания. Степени A(z^1), B(z^1) соответственно  и .

Считаем, что входной сигнал ограничен и в силу условия устойчивости объекта будем иметь ограниченный выход.

Введем обозначения:

; (7.88)

; (7.89)

; (7.90)

, (7.91)

где ₀  истинный (неизвестный) вектор параметров;  оценка вектора параметров. Предположим, что известна оценка параметров перед моментом измерения выходного сигнала y(k). Определим регрессионный вектор:

. (7.92)

Уравнение объекта можно переписать в виде

(7.93)

Начиная с произвольной начальной оценки ₀, обозначаемой через , используем рассогласование между y(k) и

(7.94)

для корректировки оценки ₀, например, по схеме градиентного алгоритма:

, (7.95)

где   положительная постоянная.

Предпочтительнее использование нормализованного градиентного алгоритма

, (7.96)

где   .

Можно использовать метод наименьших квадратов (МНК):

(7.97)

где , (7.98)

где Р(0)  положительно определенная матрица.

Для МНК с экспоненциальным забыванием уравнения имеют вид

(7.99)

(7.100)

где ,   (0,1).

Эффективность алгоритмов (7.95)(7.100) может существенно отличаться. Известно, что ненормализованный градиентный метод эффективен, если уровни сигналов известны заранее. Алгоритм наименьших квадратов является более быстрым, а его реализация более сложна.

Алгоритм наименьших квадратов с экспоненциальным забыванием эффективен, если имеются интервалы с малым возбуждением объекта управления. Проанализируем более детально нормализованный градиентный алгоритм.

Обозначим

(7.101)

с учетом (7.94) и (7.96) получим

(7.102)

Все собственные значения матрицы [] в (7.102) равны 1, за исключение одного, равного

. (7.103)

При    это собственное значение лежит в диапазоне (0,1). Из (7.99) следует, что ^T(k)(k)  0 при k  . Если для некоторого положительного , целого S и всех целых j выполняется неравенство

(7.104)

то ||(k)|| стремится к нулю по экспоненте.

7.10. Идентификация в замкнутом контуре

Пусть структурная схема системы, содержащая идентифицируемый объект имеет вид (рис. 7.4).

Запишем передаточные функции объекта

; (7.105)

. (7.106)

Передаточная функция регулятора имеет вид

(7.107)

Р ис. 7.4. Структурная схема системы управления объектом с изменяющимися

параметрами

Для линейной системы можем принять e_g(z) =  y(z), а случайный сигнал v считать независимым шумом с математическим ожиданием равным нулю и дисперсией ²v. В этом случае шум играет роль входного сигнала на объект по управляемому каналу. Передаточная функция системы по данному каналу будет иметь вид

(7.108)

Полиномы в выражении (7.108) имеют следующие порядки:

(7.109)

Регулируемая переменная y(k) является случайным авторегрессионным процессом со скользящим средним.

Если измеряется только выход y(k), параметры коэффициентов уравнения (7.108)

(7.110)

можно оценивать с помощью одного из отмеченных ранее методов при условии, что корни уравнения (z) = 0 находятся |z| < 1 и отсутствуют одинаковые корни у полиномов D(z) и (z).

Имея оценки и можно определить искомые параметры:

. (7.111)

Восстановление параметров (7.111) возможно при выполнении условий идентифицируемости.

Если существует предел

, (7.112)

где   истинный вектор параметров, а N  число выполненных измерений y(k), то объект можно назвать параметрически идентифицируемым.

Первое условие идентифицируемости определим следующим образом.

Перепишем уравнение объекта (7.105)

Ay = Bu + Dv,

а с учётом (7.107) в виде

Дополним полученное выражение произвольным полиномом S(z)

.

После преобразования запишем

или

(7.113)

Замена модулей объекта и шума моделями

и (7.114)

не приводит к изменению сигналов u(k) и y(k) при одном и том же v(k). Откуда следует, что порядки полиномов А и В нельзя однозначно определить в процессе идентификации. Порядки моделей объекта и шума должны быть точно заданы заранее (первое условие идентифицируемости).

Второе условие идентифицируемости требует определенного сочетания размерностей полиномов модели системы. Оценки параметров объекта управления и , число которых равно ma + mb, определяются из уравнения (7.108) по e параметрам _i. Если у полиномов D и  нет общих корней, то для получения однозначного решения необходимо, чтобы выполнялось неравенство

e  ma + mb (7.115)

или эквивалентные ему

(7.116)

Откуда имеем условия для порядков полиномов в уравнении регулятора

, ,

или (7.117)

,

Оценки параметров полинома D(z) однозначно определяются по коэффициентам , если r  md, что эквивалентно   0.

Если у полиномов (z) и D(z) имеется  одинаковых корней, то в этом случае могут быть определены только 1   параметров и r   параметров , ввиду чего второе условие приобретает вид

(7.118)

Если оба условия идентифицируемости выполнены, то оценку параметров объекта определяют путем подстановки ранее найденных значений , в выражение (7.108).

Можно проводить прямую идентификацию объекта, не прибегая к разложению уравнения замкнутого контура, включив в процедуру вычисления оценок измерения входа. При этом отпадает необходимость в знании параметров регулятора.