7.15. Адаптивное управление с использованием в законе адаптации вспомогательных переменных
Пусть передаточная функция объекта имеет вид
.
(7.153)
Передаточная функция эталонной модели имеет вид
,
(7.154)
где kм(p), aм(p) – гурвицевы полиномы.
Пусть существует полином (р) степени (n – – 2), который обеспечивает строгую пассивность
(p)Wм(p),
что выражается условиями
;
.
Адаптивный регулятор должен обеспечить условие
.
Вначале рассмотрим случай, когда объект имеет структуру – 1 = = n – 1. Здесь можно принять условие
(p) = 1
и обеспечить строгую пассивность Wм(j).
В данной адаптивной системе, как и в случае построения наблюдателей, формируется ряд дополнительных переменных в функциях от выхода объекта и выхода адаптивного регулятора. Структурная схема такой адаптивной системы имеет вид рис. 7.8.
В этой схеме вспомогательные генераторы описываются уравнениями
,
(7.155)
где bT = [0,0,…,1]; F – заданная матрица чисел, имеющая следующую структуру:
,
(7.156)
где En – 2 – единичная матрица размерности (n – 2),
.
(7.157)
Рис. 7.8. Структурная схема адаптивной системы
В соответствии со структурной схемой рис. 7.8 сигналы 1 и 2 равны:
;
(7.158)
,
(7.159)
или
(7.160)
(7.161)
где
;
(7.162)
;
(7.163)
.
(7.164)
Адаптивный регулятор можно представить в виде
,
(7.165)
или
U = T, (7.166)
где (t) = [y, V(1), g, V(2)].
Перейдем от передаточной функции объекта (7.153) к модели в переменных состояния:
,
(7.167)
где
,
;
d = [1,0,…,0].
Объединим уравнения (7.167) и (7.155)
,
(7.168)
где
(7.169)
Представим (7.168), (7.167) в виде
(7.170)
Пусть эталонная модель может быть записана
,
(7.171)
где
.
Вычитая из (7.170) уравнение (7.171) получим
(7.172)
Составим функцию Ляпунова вида
(7.173)
и полную производную
.
(7.174)
На основании уравнений (7.172)–(7.174) запишем уравнения
;
(7.175)
.
(7.176)
С учетом (t) = (t) + алгоритм настройки параметров адаптивного регулятора перепишем в виде
.
(7.177)
Пусть в качестве примера объект управления имеет передаточную функцию
,
параметры K1, K2, a2, a1, a0 которой неизвестны.
Пусть эталонная модель имеет вид
.
Запишем уравнения для 1-го вспомогательного генератора
и для 2-ого вспомогательного генератора
Алгоритм настройки параметров регулятора
,
где
здесь i положительные числа.
7.15. Адаптивный регулятор для объекта с разницей степеней знаменателя и числителя передаточной функции в две единицы
В связи с разницей в две единицы степеней полиномов знаменателя и числителя передаточной функции эталонной модели для обеспечения ее строгой пассивности в начале определяют число 0, такое что передаточная функция
(p)Wм(p) = (p + 0) Wм(p) (7.178)
становится строго пассивной. Структурная схема адаптивной системы имеет вид, представленный на рис.7.9.
Рис. 7.9. Структурная схема адаптивной системы
Согласно схеме можно записать управление
,
(7.179)
где связан с вектором уравнением
.
(7.180)
Представим управление (7.179) с учётом (7.180) в виде
(7.181)
Используя выкладки (7.167)–(7.177) при условии, что U определяется уравнением (7.177), получим
,
.
(7.182)
Это уравнение можно представить как
,
,
(7.183)
где
есть строго пассивная передаточная функция.
Используя функцию Ляпунова, заключаем, как и ранее, что алгоритм
,
где – произвольная положительно-определённая матрица чисел,
.
В качестве примера построим адаптивную систему управления с эталонной моделью
.
Найдем число 0, при котором передаточная функция
является строго пассивной. Это число 0 = 1.
Определим теперь параметры характеристического полинома уравнений вспомогательных генераторов:
j = (p + 0)(p + 1,5), j = 0, 1, …,
где 0 произвольное положительное число.
Положим 0 = 2 и тогда 0 = 3, 1 = 3,5.
Алгоритм настройки параметров регулятора
имеет вид
,
где i являются решениями следующих уравнений:
,
;
,
;
,
.
Выходы вспомогательных генераторов описываются уравнениями
;
;
;
.