4.5. Структурные средние величины
Структурные средние применяются для изучения внутреннего строения совокупности значений признака и для оценки средней степенного типа, если по имеющимся статистическим данным её обоснованный расчет невозможен. Такая ситуация могла бы возникнуть, например, если в приведенной ранее таблице группировки предприятий по уровню себестоимости отсутствовали бы данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий.
В качестве структурных средних применяют показатель моды как наиболее часто повторяющегося значения признака и показатель медианы величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части: в итоге у одной половины совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой не меньше медианного.
Если изучаемый признак Х принимает только дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Так, для многоэтажного дома модальным значением признака «количество комнат в квартире» может оказаться число 3 (чаще всего квартиры 3-комнатные). Для определения медианного значения признака «количество комнат в квартире» следует выписать все квартиры в порядке возрастания числа комнат. Если получившийся ряд нечетный, то медианным значением будет количество комнат в квартире, находящейся в середине этого упорядоченного ряда. Если ряд четный, медианное значение оказывается числом, находящимся в определенном интервале (например, от 2 до 3 комнат).
Если данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), то расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, то оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. Интерполяционным расчетом в этом, медианном интервале находят значение медианы Me по формуле:
где ХMe, hMe — соответственно нижняя граница и величина медианного интервала; Σт/2 половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении); SMe-1 число наблюдений (или объем взвешивающего признака), накопленное до начала медианного интервала; mMe число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (в абсолютном или относительном выражении).
В нашем примере может быть получено даже три медианные значения себестоимости единицы продукции, исходя из признаков количества предприятий, объема продукции и общей суммы затрат на производство:
Ме1 = 125 + 5 (50-48)/52 = 125,19 руб.,
Ме2 = 120 + 5 (50-27)/24 = 124,79 руб.,
Me3 = 120 + 5 (50-49,3)/50,7 = 125,07 руб.
Таким образом, у половины предприятий уровень себестоимости единицы продукции превышает 125,19 руб., половина всего объема продукции производится с уровнем затрат на изделие, превышающем 124,79 руб., и 50% общей суммы затрат образовано при удельной себестоимости выше 125,07 руб. Заметим также, что отмечается некоторая тенденция к росту себестоимости, так как Ме2 124,79 руб., а средний уровень равен 123,15 руб.
Если признак Х принимает непрерывные значения (как это имеет место, например, с уровнем затрат на производство единицы продукции), то для расчета моды прежде всего необходимо представить первичные данные в форме интервального ряда распределения. Для определения моды интервального ряда выбирается модальный интервал. Если интервалы равные, то модальным называется тот интервал значений признака, в котором отмечается наибольшая абсолютная или относительная частота его (признака) повторяемости. Итак, для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как
где ХMo нижнее значение признака Х в модальном интервале; h величина интервала; mMo частота (частость) повторения признака Х в модальном интервале; mMo-1, mMo+1 соответственно, частоты (частости) признака для интервала, предшествующего модальному и следующего за ним;
Если первичные данные представлены неравными интервалами изменения признака Х, то модальным называется интервал, имеющий наибольшую плотность признака. Под плотностью в интервале понимается отношение частоты (абсолютной или относительной) признака Х к ширине соответствующего интервала. Тогда формула расчета моды получает вид:
где ХMo нижнее значение признака Х в модальном интервале (т.е. в интервале с максимальной плотностью); hМо величина модального интервала; fMo-1, fMo, fMo+1 соответственно, плотность признака для интервала, предшествующего модальному, плотность признака для модального интервала и плотность признака для интервала, следующего за модальным.
Для нашего примера можно рассчитать три модальных значения исходя из признаков числа предприятий, объема продукции и суммы затрат на производство. Во всех этих случаях модальный интервал один и тот же, так как для одного и того же интервала оказываются наибольшими и число предприятий, и объем продукции, и общая сумма затрат на производство:
Мо1 = 125 + 5 (52-24)/((52-24)+(52-0)) = 126,75 руб.,
Мо2 = 125+5 (49-24)/((49-24)+(49 - 0)) = 126,69 руб.,
Моз = 125 + 5 (50,7-23,9)/((50,7-23,911)) = 126,73 руб.
Таким образом, в нашем примере чаще всего встречаются предприятия с уровнем себестоимости 126,75 руб., чаще всего выпускается продукция с уровнем затрат 126,69 руб. и чаще всего затраты на производство определяются уровнем себестоимости 126,73 руб.