4.3. Средние величины. Общие принципы их применения

Средняя величина (среднее значение, средний уровень или, для краткости, «средняя») – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления, образовавшийся в конкретных условиях места и времени. В средних величинах обобщается количественная вариация, погашаются индивидуальные различия единиц совокупности. Таким образом, среднее значение в отличие от конкретной величины признака позволяет сравнивать разные статистические совокупностям (например, средние уровни оплаты труда, средние уровни доходов населения и т.д.). Наблюдая изменение средней величины во времени, делают выводы об общей тенденции развития.

Принципы применения средних величин сводятся к следующему.

1. Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается среднее значение.

2. При расчете средней величины в конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь признаков и имеющиеся исходные данные.

3. Средние величины должны рассчитываться, прежде всего, по качественно однородным совокупностям. Однородные совокупности получают применяя метод группировок.

4. Общие средние для всей совокупности должны сопровождаться средними групповыми, например, показатель общей средней урожайности должен сопровождаться показателями урожайности в отдельных регионах, хозяйствах и т.д.

Средние величины делятся на два класса.

Степенные средние. Это наиболее известные и часто применяемые виды – средняя арифметическая величина, средняя гармоническая, средняя квадратическая и средняя геометрическая.

Структурные средние величины. В качестве структурных средних рассматривают моду и медиану.

Степенные средние величины рассматривают в формах простой и взвешенной средней. Средняя величина простая определяется по первичным не сгруппированным данным. Взвешенная средняя величина определяется по сгруппированным данным. Соответствующие формулы расчета имеют вид

,

где X_i – варианта (значение) осредняемого признака; m – показатель степени средней; n – число вариант (наблюдений). f_i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

В зависимости от значения показателя степени (m) получают:

• среднюю гармоническую величину, если m = –1;

• среднюю геометрическую величину, если m  0;

• среднюю арифметическую величину, если m = 1;

• среднюю квадратическую величину, если m = 2;

• среднюю кубическую величину, если m = 3 и т.д.

Соответствующие формулы расчета приведены в таблице 4.1. Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

Таблица 4.1

Вид степенной средней	Показатель степени (m)	Формула расчета
		Простая	Взвешенная
Гармоническая	–1		m = xf
Геометрическая	→ 0
Арифметическая	1
Квадратическая	2

Пример.

Культура	Предприятие 1		Предприятие 2
	Валовой сбор, ц	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га
Пшеница	32500	25	1540	20
Рожь	1620	18	120	19
Ячмень	13640	22	460	18
Просо	1650	15	80	13
Итого	49410	-	2200	-

Логическая формула показателя средней урожайности ( ) это отношение валового сбора (ВС) к посевной площади (ПП) –

Для предприятия 1 известно значение числителя в логической формуле средней величины – показатели валового сбора. Величина знаменателя (ПП) определяется для каждой культуры как:

.

В итоге получаем формулу расчета средней урожайности по сельскохозяйственному предприятию 1. Такую формулу имеет величина средняя гармоническая взвешенная; в качестве веса выступает валовой сбор. В знаменателе этого выражения определяется посевная площадь, под всеми культурами.

.

Для сельскохозяйственного предприятия 2 в условиях задачи присутствует численное значение знаменателя (показатель посевной площади – ПП). Числитель (ВС) по каждой культуре можно определить так:

ВС = У·ПП

Получаем формулу средней урожайности, где в качестве веса выступает посевная площадь. Такую формулу имеет средняя арифметическая взвешенная.

,

.

В числителе определяется величина валового сбора зерновых.

Таким образом, расчет средней величины необходимо начинать с построения логической формулы, исходя из качественного содержания осредняемого показателя. Например,

Для установления формулы средней величины А.Я. Боярский предложил использовать так называемый определяющий показатель. Средняя величина по этому методу должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или иным образом с осредняемым. Этот итоговый показатель и называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины.

Так, при расчете средней урожайности по предприятию 1 итоговым обобщающим показателем является общая посевная площадь (ПП), которая состоит из посевных площадей, занятых отдельными культурами:

.

В свою очередь, площадь, занятая отдельной культурой, связана с урожайностью соответствующей культуры соотношением

ПП_i = ВС_i / У_i .

Суммируя показатели посевной площади, получаем

.

Следовательно, при наличии данных о валовом сборе по видам культур и урожайности каждой культуры в отдельности среднее значение следует рассчитывать по формуле средней гармонической взвешенной:

Для предприятия 2 таким определяющим показателем является величина валового сбора (ВС). Величина валового сбора связана с урожайностью следующим образом:

Таким образом, .

При выборе определяющего показателя можно руководствоваться простым правилом: выделить три взаимно связанных показателя, включая и тот, по которому требуется рассчитать среднее значение. (В данном примере это валовой сбор (ц), посевная площадь (га), урожайность (ц/га)). Если имеются первичные данные по двум каким-либо показателям из этого списка, то отсутствующий третий показатель может служить определяющим признаком. (Для хозяйства № 1 отсутствовал показатель посевной площади, для хозяйства № 2 – показатель валового сбора). Если имеются данные по всем трем показателям, то исследователь вправе выбрать как среднюю величину арифметическую, так и среднюю гармоническую; при правильно назначенных весах результаты должны совпадать⁵. Если имеются данные только по тому признаку, для которого требуется рассчитать среднее значение, то исследователь вправе выбрать любую формулу степенной средней величины. В этих случаях рекомендуется также определять так называемые структурные средние (моду и медиану).

Правило определяющего показателя не следует абсолютизировать. Например, признаком цены товара обладает как та часть совокупности, которая порождает среднее значение  натуральная единица продукции, так и любая другая единица, интересующая исследователя. Например, различаются цены данного товара на отдельных торговых предприятиях, при различных ценах данного товара формируется каждый рубль издержек обращения, при различных ценах используется каждый квадратный метр торговой площади, при разных ценах реализуемого товара образуется тот или иной уровень рентабельности торговли и т.д. В этих случаях показателей, определяющих единый общий вид формулы среднего значения, фактически не существует, и исследователь вправе использовать подход, обычный в теории вероятностей и математической статистике  выбирать формулу простой арифметической средней или взвешивать индивидуальные уровни признака по их вероятностям.

Формула средней геометрической простой (не взвешенной) –

– используется обычно при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики. Такая средняя величина применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих на изменение показателя по сравнению с уровнем предыдущего периода: i₁, i₂, i₃, ..., i_n. Например, объем производства в последнем году определяется его начальным уровнем (q₀) и последующим изменением по годам:

q_n = q₀·i₁·i₂·…·i_n .

Принимая q_n в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними величинами, приходим к соотношению –

.

Так, если ежегодно увеличить производства продукта на 7,2 % по отношению к предыдущему году, то в 10 году его производство возрастет в 2 раза.

К расчету показателя средних коэффициентов или темпов роста можно подойти и по иному. Примем в качестве определяющего показателя общий объем производства за n периодов (лет)

Q = q₁ + q₂+ ...+ q_n .

Тогда

Q = q₀ · i₁ + q₀ · i₁ · i₂ + ... + q₀ · i₁ · i₂ · ... · i_n.

Заменяем индивидуальные значения коэффициентов средней величиной –

.

Например, если задано, во сколько раз суммарный объем производства за n периодов (лет) должен превысить уровень базисного периода (года), то для определения среднего коэффициента роста надо решить уравнение степени n. Найденное среднее значение коэффициента роста дает ответ на вопрос, какими темпами должен ежегодно возрастать итоговый показатель, чтобы за ряд лет, начиная с базисного уровня q0, получился суммарный объем Q. Приведем таблицу решений при n = 3; 4; 5 для Q/q0 в интервале от 1 до 8:

n	Q / q0
	1	2	3	4	5	6	7	8
3	0,544	0,810	1	1,151	1,278	1,389	1,489	1,578
4	0,519	0,741	0,888	1	1,091	1,169	1,237	1,298
5	0,509	0,709	0,834	0,927	1	1,061	1,114	1,161
6	0,504	0,692	0,805	0,885	0,948	1	1,044	1,083

Так, чтобы за предстоящие 5 лет произвести продукции в 6 раз больше, чем в предшествующем базисном году, следует ежегодно увеличивать объем производства на 6,1÷6,2 % .По сравнению с базисным годом производство должно составлять 106,1 %, 112,6 %, 119,6 %, 127,0 % и 134,7 %.

При анализе временных последовательностей (рядов динамики) единицей совокупности является момент или интервал времени. Это вносит разнообразие в расчет среднего значения. Появляются формулы хронологических средних величин для моментных и интервальных временных рядов, с равными и неравными интервалами. Средняя величина определяется с учетом основной закономерности изменения показателя во времени. Так, рассчитывая среднюю численность населения за ряд лет в условиях относительной устойчивости динамики, применяют формулу

,

где S_к, S_н – численность населения на конец и начало периода.