9.Оценка точности места судна по 2 лп: среднеквадр. Эллипс погрешности.

М есто судна F получено по 2 ЛП. Из-за случайных погрешностей каждая ЛП может сместиться параллельно самой себе на ±Δn. аbcd ограничит возможную площадь нахождения судна. Правельнее построить эллипс погрешностей.

М=√m_ЛП1²+m_ЛП2² /sinθ

Оценка точности обсерваций эллипсом погрешностей.

Для точной оценки точности полученного места положения судна по двум ЛП (линиям положения) надо построить эллипс погрешностей - кривую равных вероятностей. В приложении 5 МТ-75 приведена табл. Для решения этой задачи. Параметры эллипса рассчитываются по формулам: а = Ка*mлп2 - большая полуось b = Кb* mлп2 - малая полуось

Т = ЛП2 ± - направление полуоси а, где mлп2 - СКП более точной ЛП.

Ка и Кb - выбираем из приложения 5 МТ-75.

Входными аргументами являются:  = (mлп1 / mлп2 )  1 и  -"острый угол положения"( угол пресечения линий положения).

направление Т большей полуоси а определяют по углу , который откладывают внутри острого угла  от направления более точной ЛП (+ или -). Поэтому (+) или (-) от ЛП2 или ЛП1. Вероятность нахождения судна в эллипсе -39%- везде одинаковая. Если стороны эллипса 2а и 2b , то вероятность Р= 85,6%. Если стороны 3а и 3b, то Р = 98,9%.

П ример: Рассчитать элементы эллипса ошибок места судна, определенного по 2-м пеленгам: ЛП1= 50°; ЛП2= 105°; mлп1= 0,52 кбт ; mлп2 = 0,39 кбт

Решение: 1.  = (mлп1 / mлп2 )= 0,52/0,32 = 1,33>1

2. по приложению 5 МТ-75 находим : Ка= 1.87; Кb=

0,82; = 16,6°

3. рассчитываем а = Ка* mлп2= 1,84*0,39 = 0,79

b= Кb* mлп2= 0,89*0,39 = 0,25

Т= ЛП2 -  = 105°-16,6° = 88,4°.

10.Определение координат места судна при избыточном числе лп.

Метод исключений систематических погрешностей измерения. Понятие геометрического фактора.

Определение координат места судна при избыточном числе линий положения.

Определение места судна основано на измерении навигационных параметров. Каждый измеренный и обработанный навигационный па­раметр содержит случайную погрешность, поэтому проведенные на карте три и более линии положения (навигационные изолинии) в общем случае в одной точке не пересекаются_, а образуют фигуру погрешностей. Размеры фигуры погрешностей зависят от величины погрешностей линий положения. Случайные погрешности- погрешности, индивидуальные значения которых не подчиняются какой- либо определенной закономерности. Задача состоит в том, чтобы найти такое место, которое имело бы минимальную погрешность, т.е. соответствовало бы максимальной плотности совместного распределения погрешностей линий положения. Место судна, найденное из условия максимальной плотности распределения погрешностей линий положения, называется вероятнейшим. Аналитически вероятнейшее место судна определяется обобщенным методом наименьших квадратов. Реализация этого метода связа­на с большим объемом вычислительных операций, поэтому он целесо­образен только при использовании специализированных вычисли­тельных машин. Кроме метода наименьших квадратов существуют следующие графические способы отыскания вероятнейшего места судна по трем и более лини­ям положения, содержащим случайные погрешности.

1. В навигационных параметрах преобладают независи­мые случайные погрешности. В этом случае вероятнейшее место судна всегда находится внутри фигуру погрешностей и определяется центрографическим способом или способом вероятных поправок. Рассмотрим способ вероятных поправок, который основан на сле­дующем свойстве: вероятнейшее место судна является точкой, в ко­торой начинается и замыкается многоугольник, составленный из ве­роятных поправок P_{лп i} ∙ V_i где P_{лп i} - вес i -й линии положения, равный P_{лп i}= 1/ m²_{лп i} где m_{лп i} - среднеквадратическая погрешность линии положения;

V_i - расстояние по перпендикуляру от вероятнейшего места до i-й линии положения.

Место отыскивается последовательными приближениями:

- в фигуре погрешностей на глаз выбирается точка O₁ (рис. 1) расположенная ближе к более точным линиям положения и к прямым углам их пересечения ;

- относительно этой точки строится многоугольник вероятных поправок;

- если многоугольник ока­жется замкнутым в точке О₁, то эта точка и принимается за вероятнейшее место судна;

- если многоугольник окажется замкнутым, то за вероятнейшее место судна принимается точка

О - середина отрезка между концом последнего вектора Р_лп3∙V₃ и точкой О₁

(Рис1)

Среднеквадратическая погрешность места, найденного спосо­бом вероятных поправок рассчитывается по формуле:

где n - количество линий положения, m_лпср и Θ_ср - осредненные (средние арифметические) значения среднеквадратических погрешностей линий положения и острых углов их пересечения. При равноточных линиях положения принимают m_{лп ср}=m_лп .

Существенного превалирования независимых (частных) погрешнос­тей можно ожидать при определении места по разнородным навига­ционным параметрам, а также по однородным параметрам, измерен­ным в неблагоприятных условиях, т.е. в условиях, когда случай­ные погрешности измерения заведомо больше погрешностей, общих для всех навигационных параметров поправок.

2. Навигационные параметры содержат только повторя­ющуюся погрешность.(Метод исключения систематических погрешностей.) Систематические погрешности – это погрешности, характер и причины возникновения которых могут быть известны. Эти погрешности могут быть изучены и определены по величине и знаку, следовательно, исключены из измерений. Вероятнейшее место судна находится в точке пересечения разностных изолиний (линий положения). При расположении ориентиров в одной половине горизонта (сектор, в котором распложены ориен­тиры, меньше 180 °) разностные линии положения пересекутся вне фигуры погрешностей. При расположении ориентиров по всему го­ризонту (в секторе, превышающем 180°) разностные линии положе­ния пересекутся внутри фигуры погрешностей.

Для определения вероятнейшего места судна выполняются сле­дующие построения (рис.2):

- для каждой линии положения указывается направление градиента в сторону возрастания навигационного параметра;

- линии положения смещаются по направлению своих градиентов на величину ∆₀ / g_i, где ∆₀ - произвольная величина, постоянная для всех линий положения; g_i - градиент линии положения;

- через соответствующие точки пересечения каждой пары исход­ных и смещенных линий положения проводятся разностные линии по­ложения, точка пересечения которых и будет вероятнейшим местом положения.

Так как разностные линии положения свободны от повторяющихся погрешностей, а частные (независимые) погрешности отсутствуют иди пренебрежимо малы по условию, то полученное место теорети­чески является безошибочным.

(Рис 2)

(Рис 3)

3 . В реальных условиях наиболее вероятным является случай, когда навигационные параметры содержат частные (неза­висимые, случайные) и повторяющиеся погрешности, Вероятнейшее место судна по трем линиям положения определя­ется следующим образом: 1. Сначала делается предположение о том, что навигационные параметры содержат только независимые случайные погрешности и по способу вероятных поправок отыскивается точка О₁ внутри фигуры погрешностей (рис. З). Данная точка содержит погрешность, обусловленную влиянием независимых случайных и повторяющихся погрешностей, и оценивается средним квадратическим значением :

Где m0 - среднеквадратическое значение повторяющейся погрешности навигационных парамет-

ров; mлпср - осредненное (среднее арифметическое) значение независимых случайных погреш­ностей линий положения; gср- осредненный (средний арифме­тический) градиент.

2. Затем делается предположение о том, что навигационные па­раметры содержат только повторяющуюся погрешность и по способу разностных линий положения отыскивается точка О2 Среднеквадратическая погрешность точки О2 обусловлена только частными случайными погрешностями навигационных параметров и рассчитывается по приближенной формуле

где n - количество разностных линий положения, по которым определена точка 0₂; Δτ_ср -

осредненное (среднее арифметическое) значение угла между градиентами исходных линий положения, через точку пересечения которых проведена разностная линия положения;

γ_ср- осредненное (среднее арифметическое) значение угла пересечения разностных линий положения.

Найденные точки О₁ и О₂ соединяются прямой, Вероятнейшее мес­то судна - точка О - находится на отрезке О₁О₂ на расстояниях от его концов, обратно пропорциональных их весам:

Тогда формула для расчета средней квадратической погрешности вероятнейшего места:

Чем теснее группируются точки О1и О₂, тем точнее и надежнее место. Ограничение расстояния между точками О1и О₂ достигается за счет:

- измерения разнородных, а, следовательно, независимых навигационных параметров;

- уменьшения повторяющейся погрешности путем систематического определения общих поправок.

Понятие геометрического фактора.

Соотношение между погрешностями определения навигационных параметров зависит от геометрии взаимного расположения навигационного ориентира и судна, в качестве количественной меры которой используется коэффициент геометрии- геометрический фактор(К_г).

Количественная характеристика К_г вводится для случая, когда погрешности не коррелированны.

Априорная оценка точности обсерваций. Априори (от лат. a priory)- знание, предшествующее опыту и независимое от него. Это такая оценка точности обсерваций, при которой погрешность обсервации заранее известна. В этой оценке учитываются ожидаемые погрешности в элементах счисления. При этом предполагается, что погрешности отдельных элементов счисления независимы и постоянны на рассматриваемом участке пути. Допустим, что погрешности определения элементов счисления малы. Тогда эти погрешности можно разделить на две группы:- погрешности, вызывающе смещение судна в направлении, перпендикулярном ли­нии пути;- погрешности, вызывающе смещение судна в направлении ли­нии пути;Погрешности первой группы вызовут смещение на величину в, погрешности второй группы - на величину а. Величины а и в будут являться среднеквадратическими погрешностями счисления, т.к. при отсутствии в районе плавания течения они вызваны среднеквадратическими погрешностями m_ПУα, m_Л%, m_S.

Зная значения a и b, можно вычислить радиальную сред­неквадратическую погрешность счисления Мс(t)= √a² + b² . При больших разностях а и в площадь возможного нахождение места судна будет характеризоваться эллипсом с полуосями а и в.Если судно прошло по линии пути при дрейфе расстояние S, то его смешение по направлению, перпендикулярному этой линии: B = m_ПУα S / 57,3⁰ где m_ПУα = √m²_k + m²_α -среднеквадратическая погрешность пути при дрейфе, град; m_k- погрешность курса, зависящая от погрешности в принимаемой поправке компаса m_α - среднеквадратическая погрешность принятого к учёту угла дрейфа. Величина а зависит от погрешностей в принятом значения поправки лага m_∆Л%, а также от погрешностей в расстоянии, вызванных неучётом течения. Следовательно, смещение судна по направлению линии пути при дрейфе

При отсутствии течения:

Формулы для вычисления погрешностей m_β и m_s от действия течения могут быть получены из формул аналитического учёта течения:

Sin β = (V_т / V ) SinP; V = V_л Cosβ + V_т CosP где Р - угол между направлением течения и направлением линии пути. После дифференцирования, считая, что sin β = β·arc1⁰ , получим:

m_βmax = (57,3⁰ ∙ V_т) / V_л, при Р=90⁰ m_smax = S V_т / V_л, при Р=0

Среднее значение скорости неизвестного течения принимается: при плавании в районах со значительными приливо-отливными тече­ниями - 0,5….1,0 уз, в районах открытого моря, где по данным пособий течение отсутствует, -

11.Графоаналитический расчет координат по 2 и более измерениям методом ЛП. вес измерения, вес линии положения, вес точки пересечения линий положения, прокладка линий положения, расчет координат, оценка точности.

Метод определения обсервованного места судна путем графической прокладки линий положения относительно счислимого места называют обобщенным методом линий положения. В этом методе наряду с графической прокладкой линий положения производится вычисление их элементов, поэтому его называют графоаналитическим. Суть графоаналитического метода линий положения состоит в расчете элементов линий положения, по которым они наносятся на карту относительно счислимого места судна. Линия положения (лп) — касательная к изолинии в точке, близкой к месту судна. Изолиния- линия на земной поверхности, каждая точка которой соответствует одному и тому же значению навигационного параметра.Навигационный параметр-измеряемая величина, зависящая от положения судна относительно объекта измерения. Градиент- вектор характеризующий скорость изменения навигационного параметра(изолинии, линии положения)в данной точке. Когда берутся две (одновременные) линии положения, вероятнейшее место судна находится в точке их пересечения. Когда берутся три или более одновременные линии положения, они ни­когда из-за случайных ошибок наблюдения не пересекаются в од­ной точке, образуя некоторый многоугольник. Из теории следует, что вероятнейшее место обладает важным свойством: если для обсервации использовалось п одновременных линий положения -с весами Р₁, Р₂ ... Р_п, то векторная сумма вида P₁d₁ + P₂d₂ + … + P_nd_n = 0 (64) где d₁, d₂,...d_n перпендикуляры, опущенные из вероятнейшего места К_в на соответствующие линии положения, равна 0. Очевид­но, что равенство (64) не нарушится, если вместо абсолютных весов будут подставлены относительные. На рис. 56 изображен случай, когда существует четыре одно­временные линии положения.

Чем «тяжелее» (а значит, и более точнее) ЛП, тем ближе к ней должно быть вероятнейшее место. На рис. 56 отме­тим на глаз точку вероятнейшего места судна. Если отмеченная точка действительно является вероятнейшим местом, то вектор­ная сумма вида (64) должна равняться нулю. Если полученная точка не является вероятнейшим местом, то векторная сумма бу­дет равна некоторому вектору, тем меньшему, чем ближе наме­ченная точка к вероятнейшему месту. Доказано, что если при построении векторной суммы вида (64) пользоваться относительными весами, то точка в середине суммарного вектора будет ближе к вероятнейшему месту судна, чем первоначально намеченная. Выбирая ее за новое приближе­ние к вероятнейшему месту и проведя от этой точки новую век­торную сумму вида (64), принимают среднюю точку нового сум­марного вектора за следующее приближение к вероятнейшему месту судна. После небольшой тренировки судоводитель с достаточной для практики точностью будет намечать вероятнейшее место с перво­го раза. Ему останется лишь проверить себя построением вектор­ной суммы вида (64). Все построения делаются только с помощью одного лишь цир­куля-измерителя. Относительные веса вычисляются с точностью до 0,1. Умножение длины перпендикуляра на относительный вес ЛП делается в уме. Концы векторов вида P_id_i, отмечаются уколом циркуля, причем их направления, перпендикулярные ЛП откла­дываются на глаз. Практическая простота этого приема нахожде­ния вероятнейшего места дает возможность получать вероятнейшее место уже через 20—30 секунд после нанесения линий поло­жения на карту и определения их относительных весов. Если фигура погрешности — многоугольник, образованный пересечением нескольких линий положения, — невелика, то не нужно усложнять вопрос: вероятнейшее место можно уверенно наметить и без построения векторной суммы вида (64).Оценка точности Зная градиент g_u и приращение параметра ЛП ∆u, мы легко определяем смещение ЛП параллельно самой себе. Если нам из­вестна погрешность параметра, то, рассматривая ее как приращение параметра, мы также легко определим соответствующее этой погрешности смещения ЛП. Но в том-то и дело, что случайная погрешность наблюдения нам никогда не бывает известна. Мы знаем лишь меру точности наших наблюдений, т. е. среднюю квадратическую погрешность наблюдений параметра. Тогда по формуле ∆n = m_лп = m / g мы можем вычислить среднее квадратическое смещение лп. По­скольку средняя квадратическая погрешность параметра имеет знак (±), среднее квадратическое смещение линии положения нужно считать как по направлению градиента, так и против. Следова­тельно, проведя параллельно обсервованной лп полосу шириной 2m_лп (рис. 49) мы получим наглядное суждение о точности линии положения. Поскольку вероятность случайной ошибки, не превосходящей по величине ±m, около 0,7, истинная линия по­ложения не выходит за пределы указанной полосы (рис. 49) с той же вероятностью.

Среднее квадратическое смещение линии положения называ­ется средней квадратической погрешностью и обозначается знаком m_лп ; m_лп всегда имеет размерность линейной величины (миля, ка­бельтов, реже — метр).Чем меньше m_лп , тем точнее лп. Однако для сравнения лп по точности пользуются так называемыми весами линий положения. Весом лп (весом измерения, весом пересечения лп) называется величина, обратная квадрату средней квадратической погрешности лп. P= 1 / m²_лп

Относительным весом линии положения в группе называется отношение ее веса к весу самой тяжелой лп в группе.

1) СКП навигационной изолинии (m_ни) и линии положения (m_лп): m_ни= m_U0 / g_U0; m_ЛП= m_∆U / g_U; где m_U0 — СКП обсервованного навигационного параметра U₀ измеренного, осредненного (из n выполненных измерений) и исправленного всеми необходимыми поправками; m_Uc -СКП счислимого параметраU_c, вычисленного (или найденного иным путем), на момент получения U₀ для расчетного (счислимого) места наблюдателя C (φ_c , λ_c). m_∆U - СКП разности ∆U= (U₀-U_c) значений навигационного параметра в обсервованной и расчетной точках; m_∆U= √ m²_U0 + m_Uc; g_U - градиент навигационного параметра U.

2) Полная средняя квадратическая погрешность линии положения: где m_лп— СКП частных (неповторяющихся) случайных погрешностей (частная СКП) данной линии положения (см. п. 1); m_0лп -среднее квадратическое значение повторяющихся (общих) случайных погрешностей (повторяющаяся СКП) линии положения; m_∆U - частная (неповторяющаяся) СКП разности ∆U= U₀ - U_c; m_{0 -} повторяющаяся СКП навигационного параметра U; g_U - градиент навигационного параметра U. 3) СКП линии положения, приведенной к заданному месту:

где m_лп’ = СКП приведенной лп;

m_лп -СКП линии положения до ее приведения к одному месту;m_t - линейная СКП счисления по направлению градиента данной линии положения;

M_c (t) - радиальная СКП счисления за время t = (T _прив – T _изм) между моментом T _прив к которому приводится линия, и T _изм когда для нее были выполнены измерения. 4) Векториальная средняя квадратическая погрешность линии положения m_{ЛП вект}=mЛП / sinα; где α — угол между линией положения и направлением векториальной погрешности. 5) Погрешность линии положения для заданной вероят­ности P_зад: ∆_лп = z ּ m_лп ; где z — коэффициент, выбираемый из табл. 4.7 по заданной вероятности P_зад например, для P_зад = 0,95 получим z = 1,96. 6) Полоса положения шириной ±m_лп в обе стороны от линии положения включает фактическое место судна с вероятностью P_m= 0.683 , а шириной ±m_лп - с вероятностью P_2m= 0.954

7) Вес линии положения: p_лп =1/ m²_лп 8) Систематическая погрешность линии положения: δ_ЛП = δ_ΔU / gU; где δ_∆U— систематическая погрешность разности ∆U= (U₀-U_c) обсервованного и расчетного (счислимого) значений навигационного параметра U; g_u— градиент навигационного параметра U.

9) Систематическая погрешность линии положения по заданному направлению: δ_α= δ_лп / sin α; α – угол между лп и заданным направлением δ_α

Расчет координат. Предполо­жим, что судно находилось в точке отшествия А

(рис. 3.27) с извест­ными координатами φ_1, λ₁ и, следуя постоянным курсом по

локсодромии, пришло в точку пришествия В с координатами φ_2, λ₂. Если будут

известны сделанные судном РШ и РД, то координаты точки В легко

получить из соотношений:

φ₂ = φ₁ + РШ; λ₂ = λ₁ + РД Значения разности широт и разности долгот, входящих в эти формулы, можно рассчитать по из­вестным элементам движения: К — курсу судна и S — плаванию. Для вывода основных зависимостей обратимся к элементарному треугольнику Аа'b' (см. рис. 3.27), считая Землю за сферу. В этом треугольнике Aa′ =dφ; b′a′ = dλ cosφ = dω; Ab′= dS; где dφ — разность широт, мили; dλ — расстояние между меридианами по параллели от точки а' до b′ экв. мили; dS — плавание судна по локсодромии между точками А и b′, мили. Если принять ∆ Аа'b' за плоский, можно написать дифференциаль­ные уравнения: dφ= dS cos K; dλ cosφ = dS sin K В результате интегрирования, учитывая, что К = const, получим φ₂-φ₁=S·cos К = РШ.Таким образом, разность широт равна плаванию, умноженному на косинус курса. Обозначим (λ₂ – λ₁)cosφ_n через ω и назовем эту величину отшествием. Тогда ОТШ= ω = S sin К (3.39) т. е. отшествие равно плаванию, умноженному на синус курса. Геоме­трический смысл его состоит в том, что отшествие представляет собой длину отрезка параллели некоторой промежуточной широты φ_n, за­ключенной между меридианами пункта отхода и пункта прихода. Еди­ницей измерения отшествия является морская миля. Для вычисления РД воспользуемся известным соотношением меж­ду длиной дуги экватора и параллели: dλ = dω / cosφ Умножим числитель и знаменатель на dω и, принимая зависимость из ∆ Аа'b' dω / dφ = tg K Будем иметь dλ = dωdφ / dφ cosφ = tgK (dφ / cosφ) Решение этого уравнения приводит представляет собой разность меридиальных частей (РМЧ) в дуговых минутах. В результате получим РД = РМЧ tg К (3.40) Тогда для разности долгот можно написать другое выражение: РД = tgK (РШ / cos φ_n ) Приравняв эти два значения РД, получим значение φ_n: РМЧ tgK =tgK(РШ / cos φ_n ) cos φ_n = РШ / РМЧ (3.41) Подставим значение cos φ_n в формулу для РД и, учитывая, что ОТШ = РШ tg К, получим окончательно: РД= ОТШ / cos φ_n = ОТШ (РМЧ / РШ) (3.42) в которой ОТШ и РШ должны быть даны в морских милях. Таким образом, отшествие ω, вычисленное по формуле (3.39), пред­ставляет собой длину параллели в морских милях между меридианами точек А и В в промежуточной широте, которая определяется соотно­шением φ_n = arcos (РШ / РМЧ) На практике при ведении аналитического учета на коротких рас­стояниях можно положить, что в интервале от φ₁ до φ₂ значение cos φ изменяется линейно, тогда φ_n = (φ₁ + φ₂) / 2 = φ_м и приближенная формула для вычисления РД будет иметь вид РД = ОТШ/ cos φ_м т. е. разность долгот равна отшествию, делен­ному на косинус средней широты. Разность ме­жду средней параллелью с широтой φ_м и проме­жуточной φ_n показана на рис. 3.27. По формулам (3.38) и (3.39) составлены таблицы 24 «Разности широт и отшествия», помещенные в МТ—2000(75). В них по плаванию от 0 до 100 миль и курсу через I^е можно получить готовые значения РШ и ОТШ. Курсы первой четверти (NE) выделены и напечатаны жирным шрифтом, а рядом даны три курса остальных четвертей. Значения РШ и ОТШ даны в таблице до сотых долей мили и поэтому могут быть использованы с достаточной точностью для плаваний в 10 и 100 раз больших. Таблица дает решение прямоугольного треуголь­ника по гипотенузе и прилежащему в ней углу; она может применяться также для решения различных других задач, основанных на соотноше­ниях, связывающих элементы прямоугольного треугольника на меркаторской карте. В МТ—2000(75) помещена также специальная таблица для нахождения разности долгот (табл. 25-а), составленная по формуле РД = ОТШ ∙sec φ_м. Если в таблицу войти с приближенным значением φ_м = (φ₁ + φ₂) / 2 ,то получится приближенная величина РД, если с точным значением φ_n , предварительно рассчитанным по формуле cos φ_n = РШ / РМЧ , то получим точное значение РД (принимая Землю за шар).