Раздел 1 §1. Задачи на клетчатой бумаге Урок 1.1

Тема: Задачи на разрезание на клетчатой бумаге.

Цель: Развивать комбинаторные навыки (рассмотреть различные способы построения линии разреза фигур, правила, позволяющие при построении этой линии не терять решения), развивать представления о симметрии.

Задачи 1.1–1.4 решаем на уроке, задача 1.5 — на дом.

1. Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две рав- ные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. (Спосо- бы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе.) Сколько всего решений име- ет задача?

Указание. Найти несколько решений этой задачи не так уж слож- но. На рис. 1 некоторые из них показаны, причем решения б) и в) оди- наковы, так как полученные в них фигуры можно совместить наложе- нием (если повернуть квадрат в) на 90 градусов).

Рис. 1

Но найти все решения и ни одно решение не потерять уже труднее. Заметим, что ломаная, делящая квадрат на две равные части, симмет- рична относительно центра квадрата, Это наблюдение позволяет шаг

за шагом рисовать ломаную с двух концов. Например, если начало ло- маной в точке A, то конец ее будет в точке B (рис. 2). Убедитесь, что для данной задачи начало и конец ломаной можно нарисовать двумя способами, показанными на рис. 2.

При построении ломаной, чтобы не потерять какое-либо решение, можно придерживаться такого правила. Если следующее звено лома- ной можно нарисовать двумя способами, то сначала нужно заготовить второй такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисунке пер- вым, а на другом вторым способом (на рис. 3 показаны два продолже- ния рис. 2 (а)). Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три (на рис. 4 показаны три продолжения рис. 2 (б)). Указанный поря- док действий помогает найти все решения.

Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4

2. Прямоугольник 3×4 содержит 12 клеток. Найдите пять спосо- бов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток (способы разрезания считаются раз- личными, если части, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе).

3. Прямоугольник 3 × 5 содержит 15 клеточек и центральная

клетка удалена. Найдите пять способов разрезания оставшейся фигу-

ры на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток.

4. Квадрат 6 × 6 разграфлен на 36 одинаковых квадратов. Най-

дите пять способов разрезания квадрата на две равные части так, что-

бы линия разреза шла по сторонам квадратов.

5. Задача 1.4 имеет более 200 решений. Найдите хотя бы 15 из

них.