1.2. Верные значащие цифры приближенных чисел.

С помощью абсолютных погрешностей определяют так называ­емые верные значащие цифры приближенных чисел.

Пусть приближенное число записано в виде десятичной дроби:

а = а_п...а₁a₀, a_-1a _-2…а_-m, т.е.

а = а_n · 10ⁿ + ... + a₁ · 10¹ + a₀ · 10⁰ + a_-1 · 10^-1 + ... + а_-m · 10^-m.

1. Значащая цифра приближенного значения a, находящаяся в разряде, в котором выполняется условие: абсо­лютная погрешность Δ_α не превосходит половину единицы этого раз­ряда, называется верной. Значащие цифры разрядов, где не выпол­няется данное условие, называются сомнительными.

Значащая цифра a_k (k=n, ..., 1,0, —1, ..., -m) вер­ная, если Δ_a ≤ 0,5 · 10^k. Все значащие цифры, располо­женные слева от верной, также будут верными, а расположенные справа от сомнительной — сомнительными.

Соответствующие десятичные разряды также называем верны­ми или сомнительными.

Π ρ а в и л о. Абсолютная погрешность округляется с избытком до одной значащей цифры (обозначим эту цифру буквой d). Если циф­ра d ≤ 5, то все значащие цифры числа а левее того разряда, где находится d, будут верными. В противном случае последнюю (са­мую правую) из этих цифр следует признать сомнительной.

1.3. Нахождение абсолютной погрешности по верным цифрам

Нередко бывает так, что исходные числовые данные приводятся без оценки их погрешностей, но с известными верными цифрами. Возникает задача: найти абсолютные погрешности этих чисел, не­обходимые для последующего учета погрешностей.

Πравило. За абсолютную погрешность приближенного числа с известными верными значащими цифрами принимается половина единицы того разряда, где находится последняя верная цифра.

Обратим внимание на информационную значимость нулей, за­писанных в конце числа. Так, если известно, что все цифры чисел 3,2 и 3,20 верные, то эти записи не равноценны. За абсолютную погреш­ность первого числа можно взять 0,05, а второго — 0,005. Также, когда в конце числа получаются верные значащие нули округ­ления, их следует сохранять.

В приближенных вычислениях часто используется другое опре­деление верной значащей цифры.

Если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда, где находится значащая цифра, то эта цифра называется верной в нестрогом (широком) смысле. Если абсо­лютная погрешность числа не превосходит половину единицы этого раз­ряда, то она называется называется верной в строгом (узком) смысле.

Верная в стро­гом смысле цифра будет верной и в нестрогом смысле, а обратное утверждение не имеет места.

1.4. Правило округления чисел

Чтобы округлить число до n- значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от n-ой значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов чисел, заменяют их нулями. При этом:

1) если первая (слева) отбрасываемая цифра меньше 5, то все со­храняемые цифры остаются без изменения;

2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или если она равна 5, но среди остальных отбрасываемых цифр есть ненулевые, то к последней сохраняемой цифре прибавляется единица;

3) если первая отбрасываемая цифра равна 5 и все остальные отбрасываемые цифры являются нулями, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Пусть в результате округления числа α получилось число . Оно имеет погрешность , вызванную этой операцией. Правило ок­ругления гарантирует, что не будет превышать половины единицы разряда, где находится последняя оставленная цифра.

Потребность замены цифр нулями для сохранения разрядов воз­никает при округлении целых чисел. Например, округляя число 56 998 до трех значащих цифр, получим в результате 57 000. Первый из трех нулей является значащим, остальные два сохраняют разряд­ность числа — это нули округления.

Для того чтобы по записи таких чисел можно было узнать, какой нуль значащий, а какой нет, их записывают в виде , оставляя значащие нули в мантиссе т. Приведенное выше число следует пред­ставить как 570 · 10².