3. Комбинированный метод хорд и касательных
Необходимые сведения из теории
3.1. Отделение корней уравнений аналитическим способом
Пусть
на
определена функция
f,
причем:
1) f непрерывна на ;
2)
на
cуществует
производная
,
сохраняющая на нем знак;
3)
.
Тогда
найдется точка
такая, что
3.2. Условия, при которых для уточнения корней применяются методы хорд и касательных
Т.к.
метод хорд дает недостаток, а метод
касательных – избыток, применяют данный
метод,
для которого
значения
и
функции f
на концах отрезка имеют разные знаки
и, кроме того, функция f
имеет непрерывные производные
и
с отличными от нуля и сохраняющими
постоянный знак значениями при всех
.
3.3. Правила выбора начальных приближений для методов хорд и касательных
а) для метода касательных выбираем за
тот из концов отрезка
,
в котором выполняется условие
, то есть
и
одного знака;
б) начальные приближения корней:
по методу касательных
;по методу хорд
.
первое приближение корня
.
3.4. Алгоритм уточнения корней комбинированным методом хорд н касательных
Вычислить значения f(a) и f(b);
Проверить выполнение условия
если условие не выполняется, неверно
выбран отрезок
Найти первую и вторую производные f;
Проверить постоянство знака производных на отрезке
если
условие не выполняется, он выбран
неверно;Выполнить действия, указанные в п.3.3.;
Проверить условие окончания процесса, если задана погрешность; если оно не выполняется, то отрезок изоляции корня сужается и имеет вид
.
Приближенные корни находят по формулам
3.5. Условие окончания процесса вычислений при заданной допустимой погрешности
Для того чтобы найти приближенное значение корня с точностью до ε > 0, необходимо остановить процесс половинного деления па таком шаге n, на котором отрезок [xn1 ; xn2], будет иметь длину
и
вычислить
Тогда
можно взять
,
причем
.
Проверяется
условие
,
где ε – заданная точность. Вычисления
продолжаются до тех пор, пока не будет
найдено такое значение
,
при котором
и
не совпадут с точностью ε.
Задание
Отделите аналитически один из корней данного уравнения и определите его с точностью до ε = 0,5 · 10-5 комбинированным методом хорд и касательных.
Вариант |
Уравнение |
10 |
|
1. Отделим корни уравнения аналитически и выберем один из отрезков изоляции, на котором выполняются условия применимости метода.
Нули
:
Тогда при
функция возрастает, а при
– убывает. Примем за
.
Так
как
на
отрезке
существует один корень.
отрезок
выбран верно.
2. Возьмем соответствующие начальные приближения и найдем вручную первые приближения. Проверим условие окончания процесса вычислений.
Проверим
условие
:
3. Составим программу уточнения корня с точностью до ε, которая выводила бы приближения к корню, найденные методами хорд и касательных, и расстояния между ними, в таблицу.
Текст программы:
function f(var x:real):real;
begin
f:= 2*X*X*X+9*X*X-21;
end;
function f1(var x:real):real;
begin
f1:= 6*X*X+18*X;
end;
function f2(var x:real):real;
begin
f2:= 12*X+18;
end;
var
a,b,e,e1,x0,x11,x12:real;
n:integer;
begin
a:=-4.5;
b:=-3.5;
e:=0.000005;
x0:=a;
n:=1;
if f(a)*f(b)>0 then writeln('otrezok vibran neverno')
else
begin
x11:=x0-f(x0)/f1(x0);
x12:=a-((b-a)*f(a)/(f(b)-f(a)));
e1:=(x11+x12)/2;
writeln ('x11=',x11:1:6,' x12=',x12:1:6,' iteraciya #',n, ' x=',e1:1:6);
while abs(x11-x12)>=2*e do
begin
a:=x11;
b:=x12;
x11:= a-F(a)/f1(a);
x12:= a-((b-a)*f(a)/(f(b)-f(a)));
e1:=(x11+x12)/2;
n:=n+1;
writeln ('x11=',x11:1:6,' x12=',x12:1:6,' iteraciya #',n, ' x=',e1:1:6)
end;
writeln ('x=',e1:1:6)
end;
readln
end.
Результат, выведенный на экран:
x11=-3.981481 x12=-3.642857 iteraciya #1 x=-3.812169
x11=-3.786967 x12=-3.736732 iteraciya #2 x=-3.761849
x11=-3.756286 x12=-3.755065 iteraciya #3 x=-3.755676
x11=-3.755532 x12=-3.755531 iteraciya #4 x=-3.755531
x=-3.755531
4. Найдите приближенный корень и выпишите его с верными значащими цифрами.
Ответ: на отрезке существует только один корень данного уравнения, который был вычислен с точностью до ε = 0,5 · 10-5:
.