2. Метод половинного деления Необходимые сведения из теории

2.1. Этапы приближенного решения уравнений с одним неизвестным

Процесс приближенного решения уравнений распадается на два этапа:

1) отделение корней;

2) уточнение корней.

Корень t отделен на отрезке если и других корней в этом отрезке пет. При этом называют отрезком изоляции корня t.

Отделить корни уравнения — значит для каждого из кор­ней найти свои отрезки изоляции.

Поиск приближенного значения корня с точностью до заданного достаточно малого числа ε > 0 называется уточнением этого корня.

Следовательно, задача уточнения будет решена, если найдется число x такое, что . Тогда c точностью до ε.

2.2. Отделение корней. Графическое отделение корней

Г рафический способ отделения корней уравнения заклю­чается в поиске таких отрезков внутри которых находит­ся абсцисса точки пересечения графика функции у = f(x) с осью Ох, т.е. нуль функции f. На рис.1 отмечены два корня и соответству­ющие им отрезки.

Во многих случаях оказывается удобным заменить уравнение вида равносильным ему уравнением

где p и g — функции, графики ко­торых строятся легче, чем график функции f. Корнями уравнения являются абсциссы точек пе­ресечения линий у=р(х) и y= g(х) (рис.2).

Г

Рис.1

рафический способ применя­ется наиболее часто. Обычное c него и начинают отделение корней, од­нако он не обладает большой точ­ностью, и потому делать оконча­тельные выводы на его основе не всегда удается.

П

Рис.2

ри схематическом изображе­нии графиков можно ошибиться в выборе отрезка изоляции корня. Это случается, когда необходим отрезок небольшой длины или корни расположены близко. Здесь надо учесть, что последующие методы уточнения требуют от функ­ций определенных свойств в окрестности корня. Чем мельче отре­зок, тем вероятность выполнения этих свойств выше. Бывает так­же, что на некоторых участках области определения уравнения гра­фики функций располагаются настолько близко, что установить факт их пересечения пли количество пересечений трудно. Результаты графического метода необходимо про­верять и уточнять. Делается это аналитическими методами.

2.3. Условия применения метода половинного деления

Метод половинного деления дает простой и удобный алгоритм уточнения корней с любой наперед заданной степенью точности. Он требует от функции f выполнения легко проверяемых свойств: не­прерывности на отрезке изоляции корня и разных знаков значений на его концах.

Отличительной чертой метода является то, что скорость прибли­жения по нему совершенно не связана со свойствами функции в ок­рестности корня. Количество шагов приближения зависит лишь от отрезка [а; b] и заданной точности ε, причем на каж­дом шаге абсолютная погрешность приближенного значения корня уменьшается ровно вдвое. Вследствие этого увеличение точности всегда сопряжено с пропорциональным ростом объема вычислительной работы.

Замечание. Если отрезок изоляции корня известен, условие непрерывности функции f перестает быть необходимым для метода половинного деления. Надо лишь, чтобы функция была определена на этом отрезке и принимала слева от корня значения одного знака, а справа — другого.