Вопрос 19 : Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация

Пусть   Рассмотрим временной ряд X(t). Пусть сначала временной ряд принимает числовые значения. Это могут быть, например, цены на батон хлеба в соседнем магазине или курс обмена доллара на рубли в ближайшем обменном пункте. Обычно в поведении временного ряда выявляют две основные тенденции - тренд и периодические колебания.

При этом под трендом понимают зависимость от времени линейного, квадратичного или иного типа, которую выявляют тем или иным способом сглаживания (например, экспоненциального сглаживания) либо расчетным путем, в частности, с помощью метода наименьших квадратов. Другими словами, тренд - это очищенная от случайностей основная тенденция временного ряда.

Временной ряд обычно колеблется вокруг тренда, причем отклонения от тренда часто обнаруживают правильность. Часто это связано с естественной или назначенной периодичностью, например, сезонной или недельной, месячной или квартальной (например, в соответствии с графиками выплаты заплаты и уплаты налогов). Иногда наличие периодичности и тем более ее причины неясны, и задача эконометрика - выяснить, действительно ли имеется периодичность.

Элементарные методы оценки характеристик временных рядов обычно достаточно подробно рассматриваются в курсах "Общей теории статистики" (см., например, учебники [1,2]), поэтому нет необходимости подробно разбирать их здесь. (Впрочем, о некоторых современных методах оценивания длины периода и самой периодической составляющей речь пойдет ниже.)

Характеристики временных рядов. Для более подробного изучения временных рядов используются  вероятностно-статистические модели. При этом временной ряд X(t) рассматривается как случайный процесс (с дискретным временем) основными характеристиками являются математическое ожидание X(t), т.е.

,

дисперсия X(t), т.е.

и автокорреляционная функция временного ряда X(t)

т.е. функция двух переменных, равная коэффициенту корреляции между двумя значениями временного ряда X(t) иX(s).

В теоретических и прикладных исследованиях рассматривают широкий спектр моделей временных рядов. Выделим сначала стационарные модели. В них совместные функции распределения   для любого числа моментов времени k, а потому и все перечисленные выше характеристики временного ряда не меняются со временем. В частности, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, автокорреляционная функция зависит только от разности t-s. Временные ряды, не являющиеся стационарными, называютсянестационарными.

Линейные регрессионные модели с гомоскедастичными и гетероскедастичными, независимыми и автокоррелированными остатками. Как видно из сказанного выше, основное - это "очистка" временного ряда от случайных отклонений, т.е. оценивание математического ожидания. В отличие от простейших моделей регрессионного анализа, рассмотренных в главе 5, здесь естественным образом появляются более сложные модели. Например, дисперсия может зависеть от времени. Такие модели называют гетероскедастичными, а те, в которых нет зависимости от времени - гомоскедастичными. (Точнее говоря, эти термины могут относиться не только к переменной "время", но и к другим переменным.)

Далее, в главе 5 предполагалось, что погрешности независимы между собой. В терминах настоящей главы это означало бы, что автокорреляционная функция должна быть вырожденной - равняться 1 при равенстве аргументов и 0 при их неравенстве. Ясно, что для реальных временных рядов так бывает отнюдь не всегда. Если естественный ход изменений наблюдаемого процесса является достаточно быстрым по сравнению с интервалом между последовательными наблюдениями, то можно ожидать "затухания" автокорреляции" и получения практически независимых остатков, в противном случае остатки будут автокоррелированы.

Идентификация моделей. Под идентификацией моделей обычно понимают выявление их структуры и оценивание параметров. Поскольку структура - это тоже параметр, хотя и нечисловой (см. главу 8), то речь идет об одной из типовых задач эконометрики - оценивании параметров.

Проще всего задача оценивания решается для линейных (по параметрам) моделей с гомоскедастичными независимыми остатками. Восстановление зависимостей во временных рядах может быть проведено на основе методов наименьших квадратов и наименьших модулей, рассмотренных в главе 5 моделей линейной (по параметрам) регрессии. На случай временных рядов переносятся результаты, связанные с оцениванием необходимого набора регрессоров, в частности, легко получить предельное геометрическое распределение оценки степени тригонометрического полинома.

Однако на более общую ситуацию такого простого переноса сделать нельзя. Так, например, в случае временного ряда с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками снова можно воспользоваться общим подходом метода наименьших квадратов, однако система уравнений метода наименьших квадратов и, естественно, ее решение будут иными. Формулы в терминах матричной алгебры, о которых упоминалось в главе 5, будут отличаться. Поэтому рассматриваемый метод называется "обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)" 

13.

Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия каждого от-клонения одинакова для всех значений x. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции (смотри рисунок).

yxy~0 x

yxy~0 x

Т.к. дисперсия характеризует отклонение то из рисунков видно, что в первом случае дисперсия остатков растет по мере увеличения x, а во втором – дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних

значениях величины x и уменьшается при минимальных и максимальных значениях x. Наличие гетероскедастичности будет сказываться на умень-шении эффективности оценок параметров уравнения регрессии. Наличие гомоскедастичности или гетероскедастичности можно определять также по графику зависимости остатков от теоретических значений . xy~

Отсутствие автокорреляции остатков

Под автокорреляцией остатков понимают зависимость распределе-ния значений остатков iεдруг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последую-щих) наблюдений. Оценить эту зависимость можно вычислив коэффици-ент корреляции между этими остатками по формуле, аналогичной (6)

jijijijirεεεεσσεεεε⋅−=. (10)

Если этот коэффициент окажется существенно отличным от нуля, то остатки автокоррелированны.

Пример. Проверить для уравнения регрессии, полученного ранее, выполнение предпосылок МНК.

Вычисляем теоретические значения по уравнению регрессии полу-ченному ранее, а остатки по формуле xyy~−=ε и записываем в таблицу Номер предприятия	1	2	3	4
1x, (%)	1	2	3	5
2x, (%)	0	1	3	4
y, (тыс. руб.)	6	11	19	28
xy~, (тыс. руб.)	5,79	11,31	19,07	27,87
ε, (тыс. руб.)	0,21	-0,31	-0,07	0,13

Теперь для проверки случайного характера остатков построим гра-фик их зависимости от теоретических значений xy~.

εixy~0

Хотя по четырем точкам судить трудно, но в целом можно сделать вывод, что остатки распределены случайно. Из этого же рисунка можно сделать вывод о гомоскедастичности остатков, т. к. дисперсия каждого от-клонения одинакова для всех значений x.

Вычислим теперь величину суммарного отклонения:

04,013,007,031,021,0)~(1−=+−−=−Σ=nkxyy.

По малости этой величины можно сделать вывод о практически ну-левой средней величине остатков.

Коэффициент автокорреляции остатков находим по следующим ря-дам данных: iε, (тыс. руб.)	-0,31	-0,07	0,13
1−iε, (тыс. руб.)	0,21	-0,31	-0,07