Обобщенный метод наименьших квадратов

При наличии гетероскедастичности в остатках рекомендуется тради-ционный метод наименьших квадратов (МНК) заменять обобщенным ме-тодом наименьших квадратов (ОМНК).

Будем предполагать, что среднее значение остаточных величин рав-но нулю. А вот дисперсия их не остается неизменной для различных зна-чений фактора, а пропорциональна некоторой величине , т.е. iK

iKi⋅=22σσε,

где - дисперсия ошибки на конкретном (i – ом) значении фактора; 2iεσ

2σ - постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков;

- коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обуславливает неоднородность дисперсии. iK

При этом полагается, что величина 2σ неизвестна, а в отношении величины выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности. iK

В общем виде уравнение регрессии примет вид

iiiiiiKxKKyεβα++=.

Исходные данные для этого уравнения будут иметь вид:

nnnnKxKxKxxKyKyKyy22112211,==.

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобра-зованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные x и y взяты с весами K1.

Оценка параметров нового уравнения с преобразованными перемен-ными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для которо-го необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида

()min112→⋅−−⋅=Σ=niiiixbayKS.