§2. Признаки сходимости положительных рядов

Начнем с признаков сравнения числовых рядов. Условимся, что все ряды, рассматриваемые в пределах этого параграфа, являются знакоположительными. В признаках сравнения исследуемый ряд сравнивается с эталонным рядом (либо с помощью неравенства, либо под знаком предела), в результате сравнения делается вывод о сходимости или расходимости исследуемого ряда.

Теорема 2.1. (признак сравнения в форме неравенства).

Пусть даны два знакоположительных ряда и , причем для любого номера . Тогда из сходимости «большего» ряда следует сходимость «меньшего» ряда , а из расходимости «меньшего» ряда следует расходимость «большего» ряда .

Доказательство. Для знакоположительных рядов последовательность частичных сумм монотонно возрастает:

Из теории последовательностей известно, что монотонно возрастающая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена сверху.

В нашем случае, если ряд сходится, то его последовательность частичных сумм имеет предел, а значит, ограничена сверху.

Поскольку для любого , то , а значит, и последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху, что равносильно сходимости этой последовательности, а значит и сходимости ряда .

Второй случай, когда из расходимости ряда следует расходимость ряда , рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Пример.

Исследовать сходимость числового ряда .

Сравним данный ряд с гармоническим рядом . Очевидно, что для любого . Для доказательства рассмотрим функцию . Покажем, что для

.

Так как – точка максимума, то для справедливо неравенство:

,

тем более , т.е. , откуда для . Значит . Так как гармонический ряд расходится, то, исходя из теоремы 4.1, ряд тоже расходится.

Замечание. Для рядов и , е члены которых связаны неравенством , введём следующие определения:

– мажорирующий ряд для ряда ;

– ряд, мажорируемый рядом .

В этих терминах теорема 2.1 звучит так:

из сходимости мажорирующего ряда следует сходимость мажорируемого ряда, и, наоборот, из расходимости мажорируемого ряда следует расходимость мажорирующего ряда.

Теорема 2.2. (признак сравнения в предельной форме).

Пусть даны два знакоположительных ряда и . Если существует предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

В частности, если , т.е. при , то в смысле сходимости оба ряда ведут себя одинаково.

Доказательство. Пусть существует предел . В соответствии с определением предела это означает, что для любого найдётся такой номер , что для всех членов последовательности с номерами , выполняется неравенство:

(*)

Пусть ряд сходится. Рассмотрим левую часть неравенства (*)

.

Так как по условию , число можно выбрать таким, чтобы .

Тогда по теореме 2.1 знакоположительный ряд мажорируется сходящимся рядом , а значит, он сходится. Поскольку умножение на константу не нарушает сходимости ряда, то ряд тоже сходится.

Пусть теперь ряд расходится. Рассмотрим правую часть неравенства (*):

.

Из теоремы 2.1 следует, что ряд расходится, следовательно, ряд тоже расходится, что и требовалось доказать.

Пример.

Исследовать сходимость ряда , если .

Так как

,

а ряд расходится, то по теореме 2.2 исходный ряд тоже расходится.

Пример.

Исследовать сходимость ряда , если

.

Так как и ряд сходится ( ), то по теореме 2.2 исходный ряд тоже сходится.

От признаков сравнения знакоположительных рядов перейдём к изучению признаков сходимости, в которых исследуется не взаимоотношения данного ряда с одним из эталонных рядов, а скорость стремления к 0 го члена исследуемого ряда. К признакам сходимости относятся признак Д^’Аламбера и радикальный признак Коши.

Теорема 2.3 (признак Д^’Аламбера).

Пусть для знакоположительного ряда существует предел

.

Тогда:

1) если , ряд расходится;

2) если , ряд сходится.

В случае возможна как сходимость, так и расходимость ряда .

Доказательство. Предположим, существует предел . По определению предела это означает, что для любого найдётся такой номер , что для всех членов последовательности с номерами , выполняется неравенство:

. (**)

Пусть . Рассмотрим левую часть неравенства (**):

.

Так как , то число можно выбрать таким, что .

Следовательно,

,

т.е. члены ряда монотонно возрастают. Поскольку, к тому же, , то , а значит, ряд расходится.

Пусть . Рассмотрим правую часть неравенства (**): . Так как , то можно взять таким, чтобы выполнялось неравенство . Обозначим , . Тогда

что означает, что ряд мажорируется сходящейся прогрессией . Следовательно, по теореме 2.1 ряд сходится. Из этого в силу свойства 3 рядов (§1) следует, что и первоначальный ряд тоже сходится.

Пусть теперь .

Рассмотрим два ряда и . Убедимся в том, что для обоих рядов

:

.

Как известно, ряд расходится. Покажем, что ряд сходится. Составим для этого ряда -ю частичную сумму :

.

Так как , то ряд сходится и его сумма . Теорема доказана.

Замечания. Из доказательства теоремы 4.3 следует, что если для исследуемого ряда , то для него не выполнено необходимое условие сходимости, т.е. . В том случае, когда , исходный ряд мажорируется сходящейся геометрической прогрессией, а потому и сам тоже сходится. Признак Даламбера удобно применять для исследования рядов, - ые члены которых содержат факториалы, степенные или показательные множители либо имеют следующий вид:

.

Пример.

Исследовать сходимость ряда , если .

Вычислим , следовательно, ряд сходится.

Пример.

Исследовать сходимость ряда , если

.

Так как , то

, следовательно, ряд расходится.

Теорема 2.4 (радикальный признак Коши).

Пусть для знакоположительного ряда существует . Тогда, если

– ряд расходится,

– ряд сходится,

– ряд может как сходиться, так и расходиться.

Доказательство теоремы 2.4 аналогично доказательству признака Даламбера.

Замечания. Из теории последовательностей известно, что если для последовательности существует , то существует и предел . Поэтому, если в результате применения признака Даламбера окажется, что , то и предел из признака Коши тоже равен 1: . Однако, в определенном смысле признак Коши сильнее признака Даламбера: если для ряда последовательность не является монотонной (откуда следует, что не существует ), это еще не означает, что и тоже не существует.

Пример.

Пусть – нечетно – четно, тогда

.

Пусть – четно – нечетно, тогда

. Следовательно, не существует , а значит, признак Даламбера неприменим.

Попытаемся применить к этому ряду признак Коши.

Если – нечетно, то .

Если – четно, то .

В этом случае , т.е. в силу признака Коши исходный ряд сходится.

Если к ряду , содержащему факториалы, требуется применить признак Коши, то для удобства вычисления предела можно использовать асимптотическую формулу Стирлинга:

при

Если й член знакоположительного ряда стремится к нулю быстрее, чем выражение , где , но медленнее, чем й член сходящейся прогрессии:

,

то для исследования сходимости такого ряда можно использовать интегральный признак сходимости Коши-Маклорена.

Теорема 2.5 (интегральный признак сходимости Коши- Маклорена).

Если для знакоположительного ряда существует такая неотрицательная, непрерывная, монотонно убывающая функция , определенная на промежутке , для которой для любого , то исследуемый ряд сходится в том и только том случае, когда сходится несобственный интеграл .

Доказательство. Оценим ю частичную сумму исследуемого ряда, сопоставляя ее с . Поскольку геометрически выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком оси , графиком функции и прямыми , то воспользуемся приближенными формулами оценки определенных интегралов по методу прямоугольников.

Метод левых прямоугольников:

.

Метод правых прямоугольников:

.

Учитывая первую и вторую оценки, получим:

. (2.1)

Эту формулу назовем полезной оценкой частичной суммы .

Пусть исследуемый ряд расходится. Из этого следует, что , то есть последовательность неограничена. Поэтому, с учетом правой части неравенства (2.1) последовательность тоже неограничена, следовательно, не существует конечного , то есть несобственный интеграл расходится.

Последнее утверждение равносильно тому, что из сходимости интеграла следует сходимость исследуемого ряда .

Аналогично, рассматривая левую часть неравенства (2.1), можно показать, что из сходимости ряда следует сходимость несобственного интеграла . Теорема доказана.

С помощью интегрального признака получается новая серия эталонных рядов:

, – обобщенные гармонические ряды (ряды Дирихле).

Исследуем, при каких эти ряды сходятся.

Пусть , тогда , следовательно , а значит, – в этом случае ряды расходятся.

Аналогично, для , следовательно , а значит, ряд расходится.

Пусть теперь . Ведем функцию . Эта функция удовлетворяет условиям теоремы 2.5, следовательно ряд сходится в том и только том случае, когда несобственный интеграл сходится.

Таким образом,

Если ряд удовлетворяет условиям теоремы 2.5, то для й частичной суммы этого ряда справедлива оценка (2.1).

Предположим, ряд сходится, тогда Ряд называется - м остатком ряда и обозначается .

В случае сходимости ряда предел сумм -х остатков ряда будет равен нулю при . Действительно, поскольку ,то .

Обратимся к формуле (2.1) и перейдем в этом неравенстве к пределу при (при условии, что ряд сходится):

.

Тогда . (2.2)

Таким образом, получена оценка суммы сходящегося ряда через несобственный интеграл.

Поскольку для фиксированного натурального n остаток ряда также является рядом, удовлетворяющим условиям теоремы 2.5, то для него справедлива оценка, аналогичная (2.2):

(2.3)

– интегральная оценка -го остатка сходящегося ряда.

Поясним геометрически неравенство :

Пример.

Вычислить сумму ряда с точностью .

Пусть .

Неравенство выполняется .

В этом случае с точностью .

Так как ряд сходится, то его -й остаток

можно оценить сверху по формуле (2.3):

.

Следовательно, если , то .

Решим неравенство:

Данное неравенство выполняется для всех . Значит, с точностью , .