§4. Функциональные ряды

Пусть – некоторая функциональная последовательность, определенная на множестве . Выражение

(4.1)

называют функциональным рядом с областью определения .

Приведем примеры функциональных рядов.

.

.

Пусть точка – точка из области определения ряда (4.1), тогда при подстановки этой точки ряд (4.1) превращается в обычный числовой ряд, который может либо сходиться, либо расходиться. Если числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда (4.1), а множество всех таких точек образует область сходимости ряда (4.1).

.

Очевидно, что является подмножеством области определения ряда (4.1).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

– ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, ряд сходится, если . Таким образом, область сходимости ряда .

Пример 2.

Найти область сходимости ряда .

Пусть , тогда , т.е. в точках ряд сходится. Покажем, что в любой другой точке ряд расходится. Предположим, существует такое , что ряд сходится. Следовательно, при

т.е. . Но . Полученное противоречие означает, что для любого ряд расходится. В итоге: область сходимости .

Если функциональный ряд сходится в области , то для любого определена функция , называемая суммой функционального ряда (4.1).

Итак, при . По аналогии с числовыми рядами можно представить в виде: , где – -я частичная сумма ряда (4.1), – -й частичный остаток ряда. Последнее соотношение можно переписать в виде , а поскольку для любого , то для любого .

Определение. Если ряд сходится в некоторой области , то ряд называется абсолютно сходящимся в области , а сама область называется областью абсолютной сходимости ряда.

Для нахождения области абсолютной сходимости ряда (4.1) можно использовать все признаки сходимости и сравнения знакоположительных рядов. Пусть, например, для нахождения области абсолютной сходимости ряда (4.1) применялся признак Даламбера, т.е. . Тогда те , для которых выполняется неравенство , образуют область абсолютной сходимости ряда; решения неравенства образуют область расходимости ряда (не выполняются необходимые условия сходимости). Решения уравнения нужно подставить в первоначальный ряд, а затем исследовать сходимость полученного числового ряда (в этих точках ряд может сходиться абсолютно или условно, либо вообще расходиться).

Пример.

Найти область сходимости функционального ряда .

Исследуем ряд на сходимость, используя признак Коши:

,

отсюда следует, что .

Для определения области сходимости решим неравенство:

.

Таким образом, область абсолютной сходимости представляет собой объединение интервалов:

.

Решим уравнение :

.

При подстановке в исходный ряд, получаем числовой ряд , который, как известно, является расходящимся. Отсюда следует, что

.

Таким образом, область абсолютной сходимости совпадает с областью сходимости.