§5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду) с произвольными коэффициентами
Напомним общий вид ЛНДУ:
(5.1)
Пусть
функции
и
непрерывны
на интервале
.
Рассмотрим два свойства решений уравнения
(5.1).
1.
Пусть функция
является решением соответствующего
неоднородному уравнению
однородного уравнения
,
а функция
– некоторое частное решение ЛНДУ
.
Тогда функция
– является решением неоднородного
уравнения (5.1).
2.
Принцип
суперпозиции решений.
Пусть
– решение ЛНДУ
,
а
– решение ЛНДУ
.
Тогда
– решение ЛНДУ
.
Доказательство.
1.
Пусть
.
В соответствии с условиями утверждения
Тогда
.
Следовательно,
– решение ЛНДУ (5.1), что и требовалось
доказать.
Теорема 5.1 (о структуре общего решения ЛНДУ (5.1)).
Пусть
дано уравнение (5.1) с непрерывными на
интервале
коэффициентами. Тогда в области
уравнение (5.1)имеет общее решение
,
где
– общее решение соответствующего
однородного уравнения
,
а
– произвольное частное решение
неоднородного уравнения (5.1).
Доказательство. В соответствии с определением общего решения проверим два его свойства.
Пусть
– произвольные константы, тогда,
поскольку функция
,
где
,
является решением ЛОДУ
,
то исходя из свойства 1
решений ЛНДУ, функция
является решением уравнения (5.1).Пусть точка
.
Составим систему линейных алгебраических
уравнений относительно
:
Поскольку
главный определитель этой системы
(теорема 4.5), следовательно, система
разрешима и имеет единственное решение
,
для которого функция
определяет интегральную кривую, которая
проходит через заданную точку
.
Так как оба условия из определения общего решения выполнены, функция является общим решением уравнения (5.1) в области . Теорема доказана.
Пусть
для уравнения (5.1) известна фундаментальная
система решений
соответствующего ЛОДУ
.
Покажем, каким образом, исходя из
известной ФСР, можно найти общее решение
уравнения (5.1).
Метод Лагранжа.
Будем искать общее решение уравнения (5.1)в следующем виде:
,
где
– фундаментальная система решений,
– неизвестные функции, подлежащие
определению.
Для
нахождения
неизвестных функций
составим систему из
уравнений. При этом, как будет показано
ниже,
уравнение мы задаем сами (из соображений
удобства нахождения функций), последнее
-е
уравнение получается в результате
подстановки
в первоначальное уравнение.
Вычислим производную функции :
.
Положим
(первое условие). Тогда
,
а
.
Пусть
теперь
(второе условие). Тогда
и так далее,
.
Пусть
аналогично
(
-е
условие). Тогда
,
а
следовательно,
.
Подставим
полученные выражения для производных
в уравнение
:
.
Перегруппируем выражения в последнем равенстве:
.
Отсюда
получаем последнее
-е
условие
.
Таким
образом, для нахождения производных
,
составлена система уравнений:
(5.2)
Система
(5.2) имеет своим главным определителем
определитель Вронского
,
из чего следует, что существует
единственное решение
системы (5.2), которое можно найти либо
по формулам Крамера, либо методом Гаусса.
Пусть
решение (5.2) имеет вид:
.
Тогда
.
Следовательно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения принимает вид:
.
(5.3)
Теорема 5.2.
Если дано уравнение (5.1) с непрерывными на интервале коэффициентами и – фундаментальная система решений соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения , то общее решение уравнения (5.1) всегда может быть найдено в квадратурах методом вариации Лагранжа.
Алгоритм метода Лагранжа
Для уравнения (5.1) составляем и решаем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение . Пусть
– его фундаментальная система решений.Ищем решение уравнения (5.1) в виде
.
Для нахождения функций
,
составляем систему (5.2).
Решаем систему (5.2) методом Крамера или методом Гаусса. Пусть
– решение системы (5.2).Интегрированием определяем неизвестные функции
.Искомое решение уравнения (5.1) имеет следующий вид: .
Пример.
Проинтегрировать линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
.
1
шаг. Соответствующее
однородное уравнение будет иметь вид
.
Составляем
характеристическое уравнение
.
Фундаментальная
система решений линейного однородного
дифференциального уравнения:
2
шаг. Искомое
решение будет иметь вид
.
Составляем систему (5.2):
3 шаг. Решаем составленную систему:
4
шаг. Находим
неизвестные функции
и
:
5 шаг. Запишем общее решение уравнения:
или
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Метод подбора частного решения
Определение.
Функцию
будем называть специальной
правой частью уравнения (5.1)
где
- произвольные действительные числа
(
),
если ее можно представить в следующем
виде:
,
(5.4)
где
- действительные числа,
и
- многочлены степеней
и
соответственно с действительными
коэффициентами.
К числу специальных правых частей относятся, в частности, следующие функции:
Если
линейное неоднородное дифференциальное
уравнение (5.1) имеет специальную правую
часть
,
то его общее решение
ищут в виде
,
где
- общее решение линейного однородного
уравнения, а
- частное решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения, которое
находится методом подбора в соответствии
с видом правой части (5.4) уравнения (5.1).
При
подборе частного решения
используется теорема 5.3.
Теорема 5.3 (о структуре частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (5.1)).
Пусть
дано линейное неоднородное дифференциальное
уравнение (5.1) со специальной правой
частью (5.4). Вычислим число
- контрольное число правой части. Тогда
частное решение
линейного неоднородного дифференциального
уравнения (5.1) можно однозначно найти в
следующем виде:
,
(5.5)
где
- многочлены степени
с действительными коэффициентами,
- кратность числа
как корня характеристического многочлена.
Без доказательства.
Замечание. Отметим, что решение в виде (5.5) сначала составляется с неопределенными коэффициентами, которые затем находятся подстановкой решения в исходное уравнение.
Примеры нахождения по виду правой части.
Составляем
и решаем линейное однородное
дифференциальное уравнение
.
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:
1)
-
корень характеристического уравнения
кратности
.
Тогда
2)
-
не корень характеристического уравнения,
значит, кратность
,
тогда
3)
-
корень характеристического уравнения
кратности
,
тогда
4)
-
не корень характеристического уравнения,
следовательно, кратность
,
значит,
5)
-
не корень характеристического уравнения,
значит, кратность
,
тогда
6)
.
Правая
часть
не является специальной правой частью,
но может быть представлена как сумма
двух специальных частей
и
.
Найдем частные решения для каждой из
них, а затем, используя метод суперпозиции,
напишем искомое частное решение для
всей правой части
.
-
не корень характеристического уравнения,
,
отсюда
-
не корень уравнения, значит,
,
Частное
решение для суперпозиции
примет вид:
7)
Правая
часть
является
суммой двух специальных правых частей
и
.
Найдем частные решения для каждой из них, а затем снова воспользуемся принципом суперпозиции решений.
Пусть
,
-
не корень характеристического уравнения,
т.е.
,
а значит,
.
Пусть
=
.
-
не корень характеристического уравнения,
т.е.
,
тогда
,
отсюда
+
.
Покажем
теперь, как находятся неопределенные
коэффициенты, когда вид частного решения
определен. Вернемся к уравнению с правой
частью
.
Как
было показано выше,
Для
нахождения
и
вычислим
и подставим их выражения в исходное
уравнение.
Подставим найденные значения производных в уравнение с правой частью :
Приведем подобные:
Составим систему, из которой найдем значения коэффициентов:
Итак,
