§5. Равномерная сходимость функционального ряда. Основные свойства равномерно сходящихся рядов

Из курса математического анализа известно, что если функции непрерывны в точке (дифференцируемы в точке , интегрируемы на отрезке ), то их сумма тоже непрерывна в точке (дифференцируема в точке , интегрируема на отрезке ).

Естественно возникает вопрос: переносятся ли свойства - ого члена функционального ряда на его сумму ?

Приведем пример, из которого видно, что это не всегда так.

Пример.

Рассмотрим функциональный ряд , где .

Очевидно, что функция непрерывна на отрезке для . Покажем, что сумма этого ряда определена на отрезке , но не является непрерывной.

Составим - ю частичную сумму ряда:

.

Очевидно, что функция разрывна на отрезке , причем – точка разрыва первого рода. Изобразим график суммы.

Основным условием, которое позволяет «передать» свойства -го члена ряда сумме ряда, является свойство равномерной сходимости этого ряда.

Нам известно, что если функциональный ряд поточечно сходится на промежутке (т.е. сходится в каждой точке этого промежутка), то для любого сколь угодно малого (заданная точность вычислений) найдется такой номер , зависящий от точности и числа из множества , что все частичные суммы , номера которых больше , приближают сумму ряда с заданной точностью , т.е. .

Если взять другое , то описанного в предыдущих рассуждениях числа может не хватить для обеспечения заданной точности в точке . Это и означает, что сходимость ряда на промежутке является неравномерной по , то есть она зависит от конкретной точки из множества .

Ряд равномерно сходится к своей сумме на промежутке (обозначение: ), если для любого сколь угодно малого (заданная точность вычислений) можно указать такой номер (не зависящий от из множества ), что для всех частичных сумм , номера которых больше , неравенство

выполняется для всех из множества одновременно.

Последнее неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

,

что геометрически означает, что все частичные суммы равномерно сходящегося ряда постоянно (то есть для любых из множества ) находятся в - коридоре суммы ряда , если только .

Иллюстрация поведения суммы равномерно сходящегося ряда

Заштрихованная область является - коридором функции .

Пример. неравномерно сходящегося ряда:

, .

Покажем, что на отрезке ряд сходится неравномерно. Ранее было показано, что -я частичная сумма ряда имеет вид , сумма ряда

Построим график частичной суммы ряда и суммы ряда .

Возьмем .

На чертеже очевидно, что для любого коридора можно указать такую функцию , которая выйдет за пределы этого коридора ввиду его разрывности, что означает, что ряд неравномерно сходится на отрезке .

Дадим равносильное определение равномерной сходимости ряда, используя понятие -х частичных остатков ряда ( ).

Определение. Ряд называется равномерно сходящимся к сумме на множестве , если для любого найдется такой номер , зависящий только от и не зависящий от , что для любого го остатка , номер которого больше , выполняется неравенство для всех из одновременно.

Геометрически последнее неравенство означает, что для всех функции располагаются в коридоре функции на всем протяжении промежутка .

Для исследования равномерной сходимости ряда удобно использовать достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.

Теорема 5.1 (признак Вейерштрасса).

Если для функционального ряда на множестве существует мажорирующий сходящийся числовой ряд , то функциональный ряд сходится на множестве равномерно (т.е. формально: из неравенства для любого и любого и сходимости ряда следует равномерная сходимость ряда на _).

_{Доказательство. Неравенство} для любого и любого означает, что по признаку сходимости в форме неравенств (теорема 2.1) ряд из модулей сходится на множестве _{. Следовательно, ряд сходится поточечно на . Тогда n–й остаток ряда тоже сходится к сумме , т.е. . Обозначим}

_{– -ю частичную сумму ,}

– й остаток ряда ,

_{– -ю частичную сумму .}

_{Так как последовательность частичных сумм -х остатков (условие сходимости ряда) для любого} и любого , то и последовательность _{. Используя известное неравенство с модулями и условие мажорирования, получаем}

.

Следовательно, для любого , , а, значит,

.

Последнее неравенство означает, что

_{для любого} и любого . (*)

_{Так как ряд} сходится, то , а значит, для любого можно указать такой номер , что для любого выполняется неравенство _.

_{Учитывая неравенство (*) и последнее неравенство, получаем для любого} и любого , что, по определению, означает равномерную сходимость функционального ряда на области . Теорема доказана.

Пример.

Исследовать равномерную сходимость функциональных рядов на промежутке .

1)

.

Так как для любого , а , то

, следовательно, ряд сходится.

Таким образом, из сходимости мажорирующего ряда в силу признака Вейерштрасса следует, что исходный ряд сходится на множестве равномерно.

2)

, но мажорирующий ряд расходится, поэтому полученная оценка правильная, но неинформативная.

Попробуем для исходного ряда построить сходящийся мажорирующий ряд. Известно, что . Таким образом,

.

Таким образом, ряд – искомая сходящаяся мажоранта. Отсюда следует, что ряд равномерно сходится на всей числовой прямой.

Неравенства, используемые для построения числовых мажорант:

Свойства равномерно сходящихся рядов

Теорема 5.2 (о почленном переходе к пределу).

Пусть ряд равномерно сходится к сумме на промежутке , при этом для любого функция непрерывна в . Тогда и сумма непрерывна на промежутке .

Доказательство. Пусть . Покажем, что сумма ряда непрерывна в этой точке, т.е. . Это равносильно тому, что для любой последовательности точек соответствующая последовательность .

Зафиксируем произвольное число . В силу равномерной сходимости ряда на множестве существует такой натуральный номер , что для любого значения выполняется неравенство

.

Возьмём произвольную последовательность точек такую что . Поскольку сумма непрерывна в точке , то для выбранного числа найдётся такой номер , что для любого выполняется неравенство

.

В итоге получим

,

так как и в силу равномерной сходимости ряда на множестве , в силу непрерывности суммы в точке .

Полученное неравенство доказывает, что сумма непрерывна в точке , а в силу произвольности выбора точки сумма непрерывна и на всём множестве . Теорема доказана.

Теорема 5.2 означает, что , но поскольку , то , а тогда – формула почленного перехода к пределу (5.1).

Теорема 5.3 (о почленном интегрировании ряда).

Пусть функциональный ряд равномерно сходится к сумме на отрезке , при этом каждый члена ряда является непрерывной функцией на отрезке . Тогда сумма ряда интегрируема на отрезке , при этом интегрирование суммы выполняется почленно, т.е.

. (5.2)

Теорема 5.4 (о почленном дифференцировании ряда).

Пусть функциональный ряд сходится к сумме на отрезке , причём для каждого члена ряда существует производная функции , непрерывная на отрезке , и ряд из производных равномерно сходится на отрезке . Тогда на отрезке существует производная , при этом дифференцирование суммы выполняется почленно, т.е.

. (5.3)

Доказательство. Заметим, что ряд из производных удовлетворяет всем условиям теоремы 5.3 на отрезке , а значит, допускает почленное интегрирование.

Обозначим . Осталось показать, что .

Применим к ряду теорему 5.3 на отрезке , где .

В итоге получим

.

Так как непрерывна на отрезке , то её интеграл будет дифференцируемой на этом отрезке функцией, при этом

.

Теорема доказана.

Пример.

Дан функциональный ряд . Выяснить возможность почленного перехода к пределу, почленного интегрирования и дифференцирования этого ряда на множестве .

Рассмотрим -й член ряда: .

Эта функция непрерывна для любого натурального в любой точке .

Поскольку , то по признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно на множестве . Таким образом, выполнены условия теорем 5.2 и 5.3, а значит, возможен почленный переход к пределу в любой точке и возможно почленное интегрирование на любом отрезке .

Исследуем возможность почленного дифференцирования ряда. Для любого натурального существует производная

.

Рассмотрим точки в этих точках , тогда . Этот ряд расходится. Следовательно, условия теоремы 5.4 не выполнены, и ряд нельзя почленно дифференцировать на множестве .