Методы определения несущей способности на основе решения смешанной задачи теории упругости и теории пластичности.

Постановка смешанной задачи была предложена видными отечественными учеными в области механики грунтов М.И. Горбуновым-Посадовым и Д.Е. Полышиным: пока интенсивность внешней нагрузки на основание мала, интенсивность внешней нагрузки на основание мала, области пластических деформаций отсутствуют, при достижении интенсивностью внешней нагрузки некоторого предельного значения в грунте зарождается пластическая область. Дальнейший рост нагрузки влечет разделение основания на области упругих и пластических деформаций. Пластическая область развивается, на внутренней поверхности её границы и внутри неё грунт находится в идеально пластическом состоянии, что отвечает выполнению условия пластичности. Располагающаяся вне границ области пластической деформаций часть грунтовой толщи находится в линейно-упругом состоянии. В определенный момент времени нагрузка принимает второе предельное значение, которому отвечает окончание процесса развития пластических областей, и происходит переход в пластическое состояние, описываемое теорией предельного равновесия.

Отсюда следует вывод: при приложении нагрузки к грунтовому основанию напряженно-деформированное состояние грунтового массива в упругих областях подчиняется законам линейной теории упругости, в пластических – законам теории пластичности. В каждой точке границы упругих и пластических областей должно выполняться услоаие непрерывности поля напряжений: нормальные и касательные к границе напряжения должны быть одинаковыми по обеим её сторонам. В области линейной деформируемости должно выполняться условие совместности деформаций, в пластической области – условие пластичности.

Таким образом, аналитическое решение смешанной задачи теории упругости и теории пластичности грунтов связано с разрешением системы дифференциальных уравнений равновесия, уравнения неразрывности деформаций и условия пластичности, которые для плоской задачи записываются следующим образом (ось Х направлена вправо, Z – вертикально вниз):

Где - вертикальная, горизонтальная и касательная составляющие полного напряжения в рассматриваемой точке, X, Z – проекции суммарного (включая собственный вес грунта) вектора нагрузок на соответствующие оси координат; давление связности; C и φ - сцепление и угол внутреннего трения грунта; оператор Лапласа; μ - коэффициент Пуассона грунта.

Данные уравнения должны быть дополнены граничными условиями на внешнем контуре основания и границе упругих и пластических областей, а также зависимостями, характеризующими напряженно-деформированное состояние грунтовой среды в пластической области. Логично, что решение смешанной задачи должно быть построено таким образом, чтобы уравнения 1 выполнялись во всей грунтовой толще, уравнение 2 – только в упругой, уравнение 3 – только в пластической области.

Решение в.В. Соколовского

Решение В.В. Соколовского получено для весомой полуплоскости, заполненной связной средой при полубесконечной равномерно распределенной разгрузке с пригрузкой и без неё.

Составляющие напряжения в упругих и пластической областях определяются частными решениями соответствующих дифференциальных уравнений равновесия при строгом выполнении условия вдоль внутренней поверхности лучей. В упругой области А₀ОА₁ компоненты напряжений имеют следующий вид.

В упругой области А₂ОА₃

В средней пластической области

:

Отметим, что В.В. Соколовским впервые решена смешанная задача теории упругости и теории пластичности в весомой идеально связной среде.